Fréchet-Ableitung

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Die Fréchet-Ableitung (nach Maurice René Fréchet) verallgemeinert den Begriff der Ableitung aus der üblichen Differentialrechnung im \mathbb{R}^n auf normierte Räume. Bei Abbildungen zwischen endlichdimensionalen Räumen ergibt sich aus diesem Differenzierbarkeitsbegriff der übliche Begriff der totalen Differenzierbarkeit.

Definition[Bearbeiten]

Beziehung der drei Abbildungen

Es seien (X,\|{\cdot}\|_X) und (Y,\|{\cdot}\|_Y) zwei normierte Räume und U\subset X eine offene Teilmenge. Ein Operator A \colon U\to Y heißt Fréchet-differenzierbar an der Stelle \varphi\in U, wenn es einen beschränkten linearen Operator A'(\varphi) \colon X\to Y derart gibt, dass

\lim_{\|h\|_X\to 0} \frac{1}{\|h\|_X}\, \|A(\varphi+h)-A(\varphi)-A'(\varphi)h\|_Y=0

gilt. Der Operator A'(\varphi) heißt Fréchet-Ableitung von A an der Stelle \varphi. Existiert die Fréchet-Ableitung für alle \varphi\in U, dann heißt die Abbildung A'\colon U\to L(X,Y) mit \varphi\mapsto A'(\varphi) die Fréchet-Ableitung von A auf U. Mit L(X,Y) wird der Raum der stetigen linearen Abbildungen von X nach Y bezeichnet.

Äquivalente Definition[Bearbeiten]

Eine äquivalente Definition ist:

Zu jedem \epsilon>0 gibt es ein \delta>0 so, dass

\|A(\varphi+h)-A(\varphi)-A'(\varphi)h\|\le \epsilon \|h\|

für alle h\in X mit \|h\|\le \delta. Dies lässt sich auch kurz mit Hilfe der Landau-Symbole schreiben:

A(\varphi+h)-A(\varphi) = A'(\varphi)h + o(\|h\|) für h\to 0.

Beispiele[Bearbeiten]

Lineare Operatoren[Bearbeiten]

Für endlichdimensionale normierte Räume X,Y sind alle linearen Operatoren A \colon X\to Y Fréchet-differenzierbar mit konstanter Ableitung. An jedem Punkt ist die Ableitung der lineare Operator selbst: A'=A.

Im unendlichdimensionalen Fall sind unter den linearen Operatoren genau die beschränkten (=stetigen) Fréchet-differenzierbar. Unbeschränkte lineare Operatoren sind nicht Fréchet-differenzierbar.

Reellwertige Funktionen[Bearbeiten]

Ist f \colon U\to \mathbb{R} eine reellwertige Funktion, die auf einer offenen Menge U\subset\mathbb{R}^n definiert ist, und besitzt f stetige partielle Ableitungen, dann ist f auch Fréchet-differenzierbar. Die Ableitung an der Stelle x wird durch den üblichen Gradienten von f gegeben gemäß:

f'(x) \colon h\mapsto \mbox{grad} f(x)\cdot h=\sum\limits_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_i}(x)\, h_i

Dieses Beispiel zeigt den Zusammenhang zur üblichen Differentialrechnung im \mathbb{R}^n. Die Fréchet-Ableitung ist also tatsächlich eine Verallgemeinerung der Differentialrechnung für normierte Räume.

Integraloperator[Bearbeiten]

Sei J = [a,b] \subset \R, k \colon J \times J \to \R stetig und f \colon J \times \R \to \R stetig und im zweiten Argument stetig differenzierbar. Der nichtlineare Integraloperator F \colon C(J) \to C(J) definiert durch

(Fx)(t) = \int_a^b k(t,s) f(s,x(s)) \mathrm{d} s

ist fréchet-differenzierbar. Seine Ableitung F^\prime lautet

(F^\prime(x) h)(t) = \int_a^b k(t,s) \frac{\partial f}{\partial x}(s,x(s))\, h(s) \mathrm{d} s.

Aufgrund des Mittelwertsatzes der Differentialrechnung gilt nämlich

f(s,x(s) + h(s)) - f(s,x(s)) = \frac{\partial f}{\partial x}(s,x(s) + \rho(s)h(s)) \, h(s)

mit 0 < \rho(s) < 1 und wegen der gleichmäßigen Stetigkeit von \tfrac{\partial f}{\partial x} auf J \times \{z \in \R: |z| \leq \sup |x| + 1\} gilt

\sup_{s \in J} \left|\frac{\partial f}{\partial x}(s,x(s) + \rho(s) h(s)) - \frac{\partial f}{\partial x}(s,x(s)) \right| \leq \epsilon

für \sup|h| \leq \delta. Für \sup|h| \leq \delta gilt also

\sup \left| F(x+h) - F(x) - \int_a^b k( \cdot , s) \frac{\partial f}{\partial x}(s,x(s)) h(s) \mathrm{d} s \right| \leq \epsilon \, \sup|h| \, \max_{(t,s) \in J \times J} |k(t,s)|(b-a),

was die Darstellung der Ableitung beweist.

Rechenregeln[Bearbeiten]

Es lassen sich die üblichen Rechenregeln für die totale Ableitung im \mathbb{R}^n auch für die Fréchet-Ableitung zeigen. Folgende Gleichungen gelten, sofern sie im Sinne obiger Definition sinnvoll sind, insbesondere also die vorkommenden Abbildungen an den entsprechenden Stellen differenzierbar sind:

  • (A+B)'(\varphi)=A'(\varphi)+B'(\varphi)
  • (\lambda A)'(\varphi)=\lambda A'(\varphi).
  • Kettenregel: (A\circ B)'(\varphi)=(A'\circ B)(\varphi)\, B'(\varphi). Das Produkt (A'\circ B)(\varphi)\, B'(\varphi) ist hierbei im Sinne der Multiplikation (Hintereinanderausführung) linearer Abbildungen zu verstehen.
  • Ist A ein stetiger, linearer Operator, so ist A überall differenzierbar und es gilt A'(\varphi)=A. Zusammen mit der Kettenregel ergibt sich daraus die Folgerung, dass man stetige, lineare Operatoren aus der Ableitung herausziehen darf: (A\circ B)'(\varphi)=A\, B'(\varphi) und (B\circ A)'(\varphi)=B'(A(\varphi))\,A.
  • Produktregel: Ist A: X_1\times\ldots\times X_n\to Y eine stetige, n-fach lineare Abbildung, so ist A'(\varphi_1,\ldots,\varphi_n):(h_1,\ldots,h_n)\mapsto A(h_1,\varphi_2,\ldots,\varphi_n)+\ldots+A(\varphi_1,\ldots,\varphi_{n-1},h_n)

Zusammenhang zwischen Fréchet- und Gâteaux-Ableitung[Bearbeiten]

Sei A an der Stelle \varphi Fréchet-differenzierbar, dann existiert für jede beliebige Richtung h \in X das Gâteaux-Differential \delta A(\varphi,h) und es gilt:

\delta A(\varphi,h) = A'(\varphi) h.

Die Umkehrung gilt im Allgemeinen nicht.

Außerdem existiert dann die Gâteaux-Ableitung von A an der Stelle \varphi, die im Folgenden mit A'_s(\varphi) bezeichnet wird, und es gilt:

A'_s(\varphi) = A'(\varphi).

Auch hier gilt die Umkehrung im Allgemeinen nicht. Unter folgenden Bedingungen gilt auch die Umkehrung:

Falls A in einer Umgebung U von \varphi Gâteaux-differenzierbar ist, das heißt das Gâteaux-Differential in jedem Punkt der Umgebung stetig und linear ist, und die Abbildung

A'_s(.) : U \to \mathcal{L}(X,Y) gegeben durch  \psi \mapsto A'_s(\psi)

im Punkt \varphi stetig ist bezüglich der Operatornorm auf \mathcal{L}(X,Y), so ist A im Punkt \varphi Fréchet-differenzierbar.

Diese Bedingung ist nicht notwendig. Etwa existieren schon im Eindimensionalen total differenzierbare Funktionen, die nicht stetig differenzierbar sind.

Anwendungsbeispiel[Bearbeiten]

Die Fréchet-Ableitung kann z. B. zur Lösung sogenannter inverser Randwertprobleme im Rahmen eines Newton-Verfahrens verwendet werden. Als Beispiel für diese Anwendung betrachten wir ein inverses Randwertproblem zur Laplace-Gleichung:

Es sei D\subset\mathbb{R}^2 ein unbekanntes Gebiet. Wir betrachten das äußere Dirichlet-Problem, bei dem die Randwerte auf \partial D durch eine Quelle im Punkt z\in\mathbb{R}^2\setminus \bar D gegeben sind. Dann erfüllt die beschränkte und zweimal stetig differenzierbare Funktion u in \mathbb{R}^2\setminus \bar D die Laplace-Gleichung:

\Delta u=0 \quad\mbox{in}\,\, \mathbb{R}^2\setminus \bar D

und die Dirichlet Randbedingung:

u=-\Phi(\cdot,z)\quad\mbox{auf}\,\,\partial D.

Mit \Phi bezeichnen wir die Fundamentallösung zur Laplace-Gleichung, die eine Punktquelle im Punkt z beschreibt.

Beim inversen Randwertproblem gehen wir von einem zweiten (bekannten) Gebiet B\subset \mathbb{R}^2 aus, welches D enthält. Auf dem Rand \partial B von B messen wir die Werte der Lösung u des direkten Dirichlet-Problems. Wir kennen also die Spur u|_{\partial B}. Unser Ziel ist nun den unbekannten Rand \partial D von D aus der Kenntnis dieser Spur zu rekonstruieren.

Dieses Problem lässt sich formal durch einen Operator F beschreiben, der den unbekannten Rand \partial D auf die bekannte Spur u|_{\partial B} abbildet. Wir müssen also folgende nichtlineare Gleichung lösen:

F(\partial D)=u|_{\partial B}

Diese Gleichung kann z. B. mit Hilfe des Newton-Verfahrens linearisiert werden. Dazu schränken wir uns auf Gebiete D ein, dessen Rand wie folgt dargestellt werden kann:

\displaystyle x(t)=r(t)(\cos(t),\sin(t))

Wir suchen nun also die unbekannte Radiusfunktion r. Die linearisierte Gleichung (das Newton-Verfahren) sieht dann wie folgt aus:

F(r)+F'(r,q)=u|_{\partial B}

Hierbei bezeichnet \displaystyle F' die Fréchet-Ableitung des Operators \displaystyle F (Die Existenz der Fréchet-Ableitung für \displaystyle F kann gezeigt werden und \displaystyle F' kann über ein direktes Randwertproblem bestimmt werden!). Diese Gleichung wird dann nach q aufgelöst, wobei wir mit r+q eine neue Näherung an den unbekannten gesuchten Rand gefunden haben. Anschließend kann mit dieser Näherung das Verfahren iteriert werden.

Literatur[Bearbeiten]

  • Rainer Kress: Linear Integral Equations. Second Edition. Springer 1998, ISBN 0-387-98700-2
  • Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis – Teil 2. Teubner, Stuttgart – Leipzig, ISBN 3-519-42232-8