Gradient (Mathematik)

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Zwei Skalarfelder, dargestellt als Grauschattierung (dunklere Färbung entspricht größerem Funktionswert). Die blauen Pfeile darauf symbolisieren den zugehörigen Gradienten.

Der Gradient ist ein mathematischer Operator, genauer ein Differentialoperator, der auf ein Skalarfeld angewandt werden kann und in diesem Fall ein Gradientenfeld genanntes Vektorfeld liefert. Der Gradient steht dabei senkrecht auf der Niveaufläche (Niveaumenge) des Skalarfeldes in einem Punkt P und der Betrag des Gradienten gibt die größte Änderungsrate des Skalarfeldes im Punkt P an.

Interpretiert man beispielsweise die Reliefkarte einer Landschaft als eine Funktion h(x, y), die jedem Ort die Höhe an dieser Stelle zuordnet, dann ist der Gradient von h an der Stelle (x, y) ein Vektor in der xy-Ebene, der in die Richtung des steilsten Anstiegs von h an dieser Stelle zeigt und dessen Länge ein Maß für die Steilheit (Steigung) ist. Zur besseren Abgrenzung zwischen Operator und Resultat seiner Anwendung bezeichnet man solche Gradienten skalarer Feldgrößen in manchen Quellen auch als Gradientvektoren.[1]

Der Gradient wird zusammen mit anderen Differentialoperatoren wie Divergenz und Rotation in der Vektoranalysis, einem Teilgebiet der mehrdimensionalen Analysis, untersucht. Sie werden mit dem gleichen Vektoroperator gebildet, und zwar mit dem sogenannten Nabla-Operator \nabla (um anzudeuten, dass der Nabla-Operator hilfsweise als Vektor verstanden werden kann, bisweilen auch \vec{\nabla} oder \underline \nabla).

Definition[Bearbeiten]

Auf \R^{n} sei das Skalarprodukt \langle {\cdot},{\cdot} \rangle gegeben. Der Gradient \operatorname{grad} der partiell differenzierbaren Funktion f \colon \R^n \to \R im Punkt a \in \R^n ist der durch die Forderung

\mathrm{d} f(a) h = \langle \operatorname{grad} f(a) , h \rangle\quad (h \in \R^n)

eindeutig bestimmte Vektor \operatorname{grad} f(a). Der Operator \mathrm{d} ist das totale Differential bzw. die Cartan-Ableitung.

Koordinatendarstellung[Bearbeiten]

Der Gradient hat in unterschiedlichen Koordinatensystemen auch unterschiedliche Darstellungen.

Kartesische Koordinaten[Bearbeiten]

Im \R^n mit dem euklidischen Standardskalarprodukt ist \operatorname{grad} f(a) der Spaltenvektor

\operatorname{grad}(f) = \frac{\partial f}{\partial x_{1}}\hat{e}_{1}+\cdots+\frac{\partial f}{\partial x_{n}}\hat{e}_{n}=\begin{pmatrix}\frac{\partial f}{\partial x_{1}}\\ \vdots\\ \frac{\partial f}{\partial x_{n}} \end{pmatrix}.

Die Einträge \tfrac{\partial f}{\partial x_i} sind die partiellen Ableitungen von f in x_i-Richtung. Oft schreibt man bei kartesischen Koordinaten auch \nabla f (gesprochen „Nabla f“) statt \operatorname{grad}{f}, wobei \nabla der Nabla-Operator ist. In drei Dimensionen hat der Gradient somit die Darstellung


\operatorname{grad}(f) = \nabla f = \frac{{\partial f}}{{\partial x}}\hat{e}_x + \frac{{\partial f}}{{\partial y}}\hat{e}_y + \frac{{\partial f}}{{\partial z}}\hat{e}_z\,,

wobei \hat{e}_x ,  \hat{e}_y und \hat{e}_z die Einheitsvektoren in Richtung der Koordinatenachsen bezeichnen.

Rechenbeispiel[Bearbeiten]

Gegeben sei ein Skalarfeld durch f(x,y)=2x^2-y^2. Somit sind die partiellen Ableitungen \frac{{\partial f}}{{\partial x}} = 4x und \frac{{\partial f}}{{\partial y}} = -2y und es folgt \operatorname{grad}(f) = \nabla f = \frac{{\partial f}}{{\partial x}}\hat{e}_x + \frac{{\partial f}}{{\partial y}}\hat{e}_y = 4x\hat{e}_x - 2y \hat{e}_y oder in Vektordarstellung \operatorname{grad}(f) = \nabla f = \begin{pmatrix}4x\\-2y\end{pmatrix}.

Zylinder- und Kugelkoordinaten[Bearbeiten]

\operatorname{grad}\, V=\frac{{\partial V}}{{\partial\rho}}\hat{e}_{\rho}+\frac{1}{\rho}\frac{{\partial V}}{{\partial\varphi}}\hat{e}_{\varphi}+\frac{{\partial V}}{{\partial z}}\hat{e}_{z}
\operatorname{grad}\, V=\frac{{\partial V}}{{\partial r}}\hat{e}_{r}+\frac{1}{r}\frac{{\partial V}}{{\partial\vartheta}}\hat{e}_{\vartheta}+\frac{1}{{r\sin\vartheta}}\frac{{\partial V}}{{\partial\varphi}}\hat{e}_{\varphi}

Dies sind Spezialfälle des Gradienten auf riemannschen Mannigfaltigkeiten. Für diese Verallgemeinerung siehe: Äußere Ableitung.

Orthogonale Koordinaten[Bearbeiten]

In allgemeinen orthogonalen Koordinaten hat der Gradient die Darstellung


\mathrm{grad\,}f = \sum_{a}{\frac{1}{h_a}\frac{\partial f}{\partial{q_a}}\,\hat{{e}}_{q_a}}\,,

wobei die h_a den Betrag und \hat e_{q_a} die Richtung des Vektors \tfrac{\partial \vec r}{\partial{q_a}} angeben.

Allgemein krummlinige Koordinaten[Bearbeiten]

In allgemein krummligen Koordinaten hat der Gradient die Darstellung


\mathrm{grad\,}f = \sum_{a} \frac{\partial f}{\partial q_a}\,\vec{G}^{a}\,,

worin \vec{G}^{a} der Gradient der Koordinate q_a ist.

Koordinatenfreie Darstellung als Volumenableitung[Bearbeiten]

Mit Hilfe des Integralsatzes von Gauß kann der Gradient, ähnlich wie die Divergenz (Quellendichte) und die Rotation (Wirbeldichte) als Volumenableitung dargestellt werden. Diese Darstellung hat den Vorteil, dass sie koordinatenunabhängig ist. Aus diesem Grund wird der Gradient im Bereich der Ingenieurwissenschaften oftmals direkt so definiert.

Ist \mathcal{V} ein Raumgebiet mit stückweise glattem Rand \partial \mathcal{V} und dem Volumen V, dann kann der Gradient des Skalarfelds f \colon \mathcal{V} \to \R im Punkt p \in \mathcal{V} mittels der Volumenableitung durch

\mathrm{grad}\,f=\lim_{V\rightarrow 0}\frac{\oint_{\partial \mathcal{V}} f\,\mathrm{d}\vec A}{V}

berechnet werden. Dabei bezeichnet \mathrm{d}\vec A=\frac{\vec n}{\mid\vec n\mid}\mathrm{d}A das äußere vektorielle Flächenelement von \partial \mathcal{V}, wobei \vec n der nach außen zeigende Normalenvektor und \mathrm{d}A das skalare Flächenelement ist.[2]

Zur Grenzwertbildung wird das Raumgebiet \mathcal{V} auf den Punkt p zusammengezogen, sodass sein Inhalt V gegen null geht. Ersetzt man f durch einen Druck, erscheint der Gradient als Kraftdichte. Die Koordinatendarstellungen des vorigen Abschnitts ergeben sich aus der Volumenableitung, wenn man das jeweilige Volumenelement, beispielsweise Kugel oder Zylinder, als Raumgebiet \mathcal{V} wählt.

Riemannsche Mannigfaltigkeiten[Bearbeiten]

Für eine glatte Funktion f auf einer Riemannschen Mannigfaltigkeit (M,g) ist der Gradient von f dasjenige Vektorfeldf, mit dem für jedes Vektorfeld X die Gleichung

g(\nabla f, X) = \partial_X f, \qquad \text{d. h.}\quad g_x((\nabla f)_x, X_x ) = (\partial_X f) (x),

gilt, wobei gx( , ) das durch g definierte innere Produkt von Tangentialvektoren an x ist und ∂Xf (oft auch X(f) bezeichnet) diejenige Funktion ist, die jedem Punkt xM die Richtungsableitung von f in Richtung X, ausgewertet in x, zuordnet. Mit anderen Worten, in einer Karte φ von einer offenen Teilmenge von M auf eine offene Teilmenge von Rn ist (∂Xf)(x) gegeben durch:

\sum_{j=1}^n X^{j} (\varphi(x)) \frac{\partial}{\partial x_{j}}(f \circ \varphi^{-1}) \Big|_{\varphi(x)},

wobei Xj die jte Komponente von X in diesen Koordinaten bedeutet.

In lokalen Koordinaten hat der Gradient also die Form

\nabla f= g^{ik}\frac{\partial f}{\partial x^{k}}\frac{\partial}{\partial x^{i}}.

Analog zum Fall M = Rn hat man den Zusammenhang des Gradienten mit der äußeren Ableitung vermittels

(\partial_X f) (x) = df_x(X_x)\ .

Genauer: ∇f ist das der 1-Form df unter dem mittels der Metrik g definierten musikalischen Isomorphismus („sharp“)

\sharp=\sharp^g\colon T^*M\to TM

entsprechende Vektorfeld. Der Zusammenhang zwischen äußerer Ableitung und Gradienten für Funktionen auf dem Rn ist der Spezialfall für die durch das euklidische Skalarprodukt gegebene flache Metrik.

Geometrische Interpretation[Bearbeiten]

Geometrisch betrachtet ist der Gradient eines Skalarfelds an einem Punkt ein Vektor, der in Richtung des steilsten Anstieges des Skalarfeldes weist. Dabei entspricht der Betrag des Vektors der Stärke des Anstieges. Befindet man sich an einem lokalen Minimum oder Maximum (Extremum) oder an einem Sattelpunkt, so ist der Gradient an dieser Stelle gerade der Nullvektor, vorausgesetzt, dass dieser Extrempunkt im Inneren des betrachteten Gebietes liegt.

Mit Hilfe des Gradienten lässt sich auch der Anstieg in jeder beliebigen Richtung, Richtungsableitung genannt, ermitteln, der – im Unterschied zum Gradienten – wieder ein Skalar ist.

Eigenschaften[Bearbeiten]

Für alle Konstanten c\in\R und Skalarfelder u,\,v \colon \R^n\to\R gilt:

\operatorname{grad}\,c=\vec{0}

Linearität

\operatorname{grad}\,(c\cdot u)=c\cdot\operatorname{grad}\,u
\operatorname{grad}\,(u+v)=\operatorname{grad}\,u+\operatorname{grad}\,v

Produktregel

\operatorname{grad}\,(u\, v) = u\ \operatorname{grad}\,v + v\ \operatorname{grad}\,u
\operatorname{grad}\,(u^n) = n\, u^{n-1}\ \operatorname{grad}\,u     für   n\neq 0

Zusammenhang zur Richtungsableitung[Bearbeiten]

Hauptartikel: Richtungsableitung

Unter der Richtungsableitung versteht man die Ableitung, also den Anstieg eines Skalarfeldes \varphi\left(\vec r\right), in Richtung eines normierten Vektors \vec v, genauer:


D_{\vec v} \varphi = \frac{\partial\varphi}{\partial\vec v}=\lim_{t\to 0}\frac{\varphi(\vec r+t\vec v)-\varphi(\vec r)}t

Ist \varphi in einer Umgebung von \vec r differenzierbar, dann kann man die Richtungsableitung als Skalarprodukt von \vec v mit dem Gradienten von \varphi berechnen:


D_{\vec v} \varphi = {{\partial\varphi} \over {\partial\vec v}}=\left\langle\mathrm{grad}\,\varphi,\vec v\right\rangle

Integrabilitätsbedingung[Bearbeiten]

Eine wichtige Beziehung für Gradientenfelder \mathbf G(x_1, ... , x_n)=\mathrm{grad\,\,} f(x_1,...,x_n) in n Dimensionen ist die Aussage, dass diese immer „integrabel“ sind, und zwar in folgendem Sinne: Es gilt für alle i und k (i,k=1, …, n):

\frac{\partial G_i}{\partial x_k}-\frac{\partial G_k}{\partial x_i}\equiv 0

Diese direkt nachprüfbare Beziehung – in drei Dimensionen identisch mit der Rotationsfreiheit des Feldes – ist notwendig für die Existenz einer „Potentialfunktion“ f (präziser: der Funktion \phi =-f). Die Gi bzw. Gk sind die Komponenten des Vektorfeldes. Die Integrabilitätsbedingung impliziert ferner, dass für alle geschlossenen Wege W im \mathbb R^n das Linienintegral \textstyle \oint_W \mathbf G\cdot\mathrm d\mathbf r verschwindet, was in der Mechanik bzw. der Elektrodynamik große Bedeutung hat.

Beispiele[Bearbeiten]

Folgende Gradienten treten häufig in der Physik auf. Es wird der Ortsvektor \vec{r}=r\hat{e}_{r} verwendet.

\operatorname{grad}\, r=\hat{e}_{r}=\frac{\vec{r}}{r}
\operatorname{grad}\, U(r)=\frac{\partial U}{\partial r}\hat{e}_{r}
\operatorname{grad}\,\frac{1}{r}=-\frac{1}{r^{2}}\,\operatorname{grad}\, r=-\frac{\hat{e}_{r}}{r^{2}}=-\frac{\vec{r}}{r^{3}}
\operatorname{grad}\,\frac{1}{|\vec{r}-\vec{r}^{\,\prime}|}=-\frac{1}{|\vec{r}-\vec{r}^{\,\prime}|^{2}}\,\operatorname{grad}\,|\vec{r}-\vec{r}^{\,\prime}|=-\frac{\vec{r}-\vec{r}^{\,\prime}}{|\vec{r}-\vec{r}^{\,\prime}|^{3}}

Man beachte, dass beim letzten Beispiel der Gradient nur auf \vec{r} und nicht auf \vec{r}^{\prime} wirkt. Er wird deshalb auch als \nabla_{\vec{r}} geschrieben.

Anwendungen[Bearbeiten]

Hydrodynamik
Die Strömungsfelder sogenannter Potentialströmungen sind Gradientenfelder.
Thermodynamik
Sind Teile eines Körper unterschiedlich heiß, so strömt Wärme von den heißeren zu den kühleren Bereichen. Ist die Wärmeleitfähigkeit überall gleich, so ist der Wärmestrom ein Vielfaches des Temperaturgradienten. Für den Wärmestrom jw gilt also beispielsweise \mathbf{j_w}=-\lambda\,\mathrm{grad}\,\,T\,, mit der sogenannten „Wärmeleitfähigkeit“ λ.
Akustik
Der Druckgradient ist das Verhältnis von Druckdifferenz und dem Abstand zweier Punkte. Bei Richtmikrofonen im Schallfeld hat dieser Begriff eine besondere Bedeutung.
Elektrodynamik
Statische elektrische Felder E sind stets Gradientenfelder elektrostatischer Potentiale \,\phi (x,y,z); präziser gilt mit einem Minuszeichen: \mathbf E(x,y,z)=-\mathrm{grad}\,\,\phi (x,y,z)\,.
Mechanik
Hier gilt Analoges für sog. „konservative Kraftfelder“.
Bildverarbeitung
Der Gradient wird unter anderem für die Kantenerkennung benutzt. Da ein Bild nur diskrete Werte enthält, benutzt man Filter (Matrix, mit der das Bild gefaltet wird, siehe Diskrete Faltung) wie den Sobel-Operator, um ein Gradientenfeld des Bildes zu erhalten. Die Kanten in dem Bild sind dann als Extremwerte des gefilterten Bildes erkennbar.

Vektorgradient[Bearbeiten]

Definition[Bearbeiten]

In der Mathematik ist der Gradient nur für Funktionen mit Bildbereich in \mathbb R definiert. In der Physik und in den Ingenieurwissenschaften wird jedoch ein sogenannter Vektorgradient auch für Funktionen \vec F:\mathbb R^n\rightarrow\mathbb R^m eingeführt. Dieser im Folgenden definierte Vektorgradient ist mit der Jacobi-Matrix identisch.

Für \vec v \in \mathbb R^n (mit Standardskalarprodukt) ist

(\vec{v}\cdot\nabla)\vec{F} = J_\vec{F}\,\vec{v}

eine Funktion \mathbb R^n \to \mathbb R^m, deren Komponenten die Änderung der Komponenten von \vec F in Richtung von \vec v beschreiben. Schreibt man statt \nabla nun \operatorname{grad} und unterdrückt die Klammern, so ergibt sich der sogenannte Vektorgradient \operatorname{grad}\,\vec{F} über die definierende Eigenschaft

\vec{v}\cdot\operatorname{grad}\,\vec{F} := J_\vec{F}\,\vec{v}.

Dabei bezeichnet J_\vec{F}\,\vec{v}=J_\vec{F}\cdot\vec{v} die Matrizenmultiplikation der Jacobi-Matrix J_{\vec{F}}, einer m\times n-Matrix, mit dem Spaltenvektor \vec{v}, also einer n\times 1-Matrix.

Dass diese Definition keine mathematisch sinnvolle Verallgemeinerung des Gradienten sein kann, zeigt sich z. B. dadurch, dass die Definition der Jacobi-Matrix unabhängig vom Skalarprodukt ist, während dieses in die Definition des Gradienten wesentlich eingeht.

Der Vektorgradient lässt sich als transponiertes dyadisches Produkt des Nabla-Operators und eines Vektors auffassen:

\operatorname{grad}\,\vec{F}=(\nabla\otimes\vec{F})^{T}=(\nabla\vec{F})^{T}

In Indexschreibweise:

(\operatorname{grad}\,\vec{F})_{ij}=\frac{\partial F_i}{\partial x_j}

Der Vektorgradient wird u. a. in der Kontinuumsmechanik (z. B. in den Navier-Stokes-Gleichungen) benutzt.

In der Literatur gibt es auch andere Definitionen des Vektorgradienten, nämlich als transponierte Jacobimatrix \operatorname{grad}\,\vec{F} := J_\vec{F}^{T} oder als das Skalarprodukt eines Vektors mit dem Nablaoperator \operatorname{grad}\,\vec{F}:= (\vec{v}\cdot\nabla)\vec{F}.

Totales Differential[Bearbeiten]

Betrachte für ein Vektorfeld eine infinitesimale Verschiebung:

\vec{F}(\vec{r}+\mathrm{d}\vec{r})=\vec{F}(\vec{r})+J_{\vec{F}}\cdot\mathrm{d}\vec{r}=\vec{F}(\vec{r})+(\operatorname{grad}\vec{F})\cdot\mathrm{d}\vec{r}=\vec{F}(\vec{r})+(\mathrm{d}\vec{r}\cdot\nabla)\vec{F}=\vec{F}(\vec{r})+\mathrm{d}\vec{F}

Das vollständige oder totale Differential eines Vektorfeldes \vec{F}(\vec{r}) ist:

\mathrm{d}\vec{F}=(\operatorname{grad}\vec{F})\cdot\mathrm{d}\vec{r}   bzw. in Indexschreibweise   \mathrm{d}F_{i}=\sum_{j}\frac{\partial F_{i}}{\partial x_{j}}\mathrm{d}x_{j}

Das totale Differential eines Skalarfeldes und eines Vektorfeldes haben somit dieselbe Form.

Eigenschaften[Bearbeiten]

Die Rechenregeln sind diejenigen der Jacobi-Matrix. \operatorname{grad}\vec{A} bezeichnet hier den Vektorgradienten.

Für alle Konstanten c\in\R und Vektorfelder \vec{A},\,\vec{B} \colon \mathbb R^n\rightarrow\mathbb R^m gilt:

Linearität

\operatorname{grad}\,(c\cdot\vec{A})=c\cdot\operatorname{grad}\,\vec{A}
\operatorname{grad}\,(\vec{A}+\vec{B})=\operatorname{grad}\,\vec{A}+\operatorname{grad}\,\vec{B}

Produktregel

(\vec{A}\cdot\nabla)\vec{B}=(\operatorname{grad}\,\vec{B})\cdot\vec{A}
\operatorname{grad}(\vec{A}\cdot\vec{B})=(\operatorname{grad}\,\vec{A})^{T}\cdot \vec{B}+(\operatorname{grad}\,\vec{B})^{T}\cdot\vec{A}
\operatorname{grad}(\vec{A}^{\,2}) =2\,(\operatorname{grad}\,\vec{A})^{T}\cdot\vec{A}

Speziell für Vektorfelder \vec{A},\,\vec{B}:\mathbb R^3\rightarrow\mathbb R^3 lassen sich obige Beziehung noch umformen:

\operatorname{grad}(\vec{A}\cdot\vec{B}) =(\vec{B}\cdot\nabla)\vec{A}+\vec{B}\times(\nabla\times\vec{A})+(\vec{A}\cdot\nabla)\vec{B}+\vec{A}\times(\nabla\times\vec{B})
\operatorname{grad}(\vec{A}^{\,2}) =2(\vec{A}\cdot\nabla)\vec{A}+2\vec{A}\times(\nabla\times\vec{A})

Beispiele[Bearbeiten]

\operatorname{grad}\, \vec{r}=I, wobei I die Einheitsmatrix ist.
(\operatorname{grad}\frac{\vec{r}}{r^{3}})^{T}=\nabla\otimes\frac{\vec{r}}{r^{3}}=(\nabla\frac{1}{r^{3}})\otimes\vec{r}+\frac{1}{r^{3}}(\nabla\otimes\vec{r})=-\frac{3}{r^{5}}\vec{r}\otimes\vec{r}+\frac{1}{r^{3}}I=-\frac{1}{r^{5}}(3\vec{r}\otimes\vec{r}-r^{2}I)

Die beiden Formeln werden z. B. bei der kartesischen Multipolentwicklung verwendet.

Weblinks[Bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten]

  • Adolf J. Schwab: Begriffswelt der Feldtheorie. Praxisnahe, anschauliche Einführung. Elektromagnetische Felder, Maxwellsche Gleichungen, Gradient, Rotation, Divergenz. 6., unveränderte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2002, ISBN 3-540-42018-5.
  • Konrad Königsberger: Analysis. Band 2. 4., überarbeitete Auflage. Springer, Berlin u. a. 2000, ISBN 3-540-43580-8.

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Ernst Grimsehl: Lehrbuch der Physik. Band 1: Mechanik, Wärmelehre, Akustik. 15. Auflage, herausgegeben von Walter Schallreuter. Teubner, Leipzig 1954, S. 579.
  2. Bronstein, Semendjajew, Musiol, Mühlig: Taschenbuch der Mathematik, Verlag Harri Deutsch, Frankfurt, 8. Aufl. 2012, Abschn. 13.2, Räumliche Differentialoperatoren