Fundamentallösung

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Wechseln zu: Navigation, Suche

Eine Fundamentallösung ist ein Hilfsmittel in der Theorie der partiellen Differentialgleichungen. Mit Hilfe einer Fundamentallösung kann man spezielle Lösungen für diese Gleichungen konstruieren.

Definition[Bearbeiten]

Falls L ein linearer Differentialoperator mit konstanten Koeffizienten ist, dann ist eine Fundamentallösung  G(x) definiert als distributionelle Lösung von

 
L G(x) = \delta(x),

wobei \delta(x) die Dirac'sche Delta-Distribution ist.

Lösen von inhomogenen Differentialgleichungen[Bearbeiten]

Falls für einen linearen Differentialoperator L eine Fundamentallösung G bekannt ist, so erhält man eine Lösung u(x) der Gleichung


L u(x) = f(x)

durch Faltung der Fundamentallösung G mit der rechten Seite f :


u(x) = (G * f)(x) = \int G(x - y) f(y) dy.

Methode zur Bestimmung der Fundamentallösung[Bearbeiten]

Um mithilfe der Fundamentallösung eine inhomogene Lösung eines Anfangswert- oder Randwertproblems zu bestimmen, muss die Fundamentallösung selbst bestimmt werden. Dies kann, falls der Differentialoperator konstante Koeffizienten hat, mit Hilfe der Fourier-Transformation

\hat{f}(\omega) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{\R^n} f(t) e^{-\mathrm{i} t \omega} \,\mathrm{d} t

beziehungsweise ihrer Rücktransformation erreicht werden. Es gilt nämlich

\begin{align}
\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{\R^n} \hat{f}(\omega) \mathrm{e}^{\mathrm{i} \omega{t} } \mathrm{d} \omega 
= f(t) &= L y(t) \\
&= L \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{\R^n} \hat{y}(\omega) \mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega{t} } \mathrm{d} \omega\\
&= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{\R^n} L(-\mathrm{i} \omega) \hat{y}(\omega) \mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega{t} } \mathrm{d} \omega\,,
\end{align}

wobei L(\omega) das Symbol von L ist. Zusammen mit der Transferfunktion Y(-\mathrm{i} \omega ) := \frac{1}{L(- \mathrm{i} \omega )} gilt

\hat{y} = Y(- \mathrm{i} \omega ) \hat{f} ,

fast überall. Da zudem noch \hat{y} = (2\pi)^{\frac{1}{2}}\hat{G} \hat{f} gilt, folgt

\tilde{G}(\omega ) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot Y(- \mathrm{i} \omega )

beziehungsweise

G(t) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} Y(- \mathrm{i} \omega ) \mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega{t} } \mathrm{d} \omega .

Beispiele[Bearbeiten]

G(x) :=
\left\{
\begin{array}{rl}
-\frac {1} {2 \pi} \ln {|x|}\ ,&n = 2\\ 
\frac {1} {(n-2)\,\omega_n} \frac {1} {|x|^{n-2}}\ ,&n > 2\,,\\
\end{array}
\right.
wobei  \omega_n den Flächeninhalt der Oberfläche der n-dimensionalen Einheitskugel bezeichnet.[1]

Theorie[Bearbeiten]

Für viele Differentialgleichungen ist eine Fundamentallösung bekannt, etwa die Poisson-Gleichung, die Wärmeleitungsgleichung, die Wellengleichung und die Helmholtz-Gleichung.

Allgemein gilt der Satz von Malgrange-Ehrenpreis, wonach jede partielle Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten eine Fundamentallösung besitzt.

Siehe auch[Bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten]

  • Lars Hörmander: The Analysis of Linear Partial Differential Operators. Band 1: Distribution Theory and Fourier Analysis. Second Edition. Springer-Verlag, Berlin u. a. 1990, ISBN 3-540-52345-6 (Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 256).

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Lawrence C. Evans: Partial Differential Equations. Reprinted with corrections. American Mathematical Society, Providence RI 2008, ISBN 978-0-8218-0772-9, S. 22.