Frame (Hilbertraum)

Ein Frame ist ein Objekt aus dem mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis, insbesondere aus dem Bereich der Hilbertraumtheorie. Es handelt sich um ein besonderes Erzeugendensystem eines Hilbertraumes.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es sei $H$ ein separabler Hilbertraum mit Skalarprodukt $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ und davon induzierter Norm $\|\cdot \|={\sqrt {\langle \cdot ,\cdot \rangle }}.$ Eine Familie $\left\{f_{j}\right\}_{j\in \mathbb {Z} }\subset H$ heißt Frame von $H$ , wenn es $0<m\leq M$ gibt, so dass für alle $f\in H$ die Ungleichung

m\left|\left|f\right|\right|^{2}\leq \sum _{j\in \mathbb {Z} }\left|\langle f,f_{j}\rangle \right|^{2}\leq M\left|\left|f\right|\right|^{2}

gilt. Dies bedeutet, dass die $\ell ^{2}$ -Norm der Folge der Fourierkoeffizienten $(\langle f,f_{j}\rangle )_{j\in \mathbb {Z} }$ in direktem Zusammenhang mit der Norm der Funktion $f$ steht.

Kann darin $m=M$ gewählt werden, dann bezeichnet man den Frame als straff oder tight.

Ist obige Ungleichung speziell für $m=M=1$ erfüllt, so nennt man den Frame auch Parsevalframe. In diesem Fall gilt für alle $f\in H$ die parsevalsche Gleichung

\left|\left|f\right|\right|^{2}=\sum _{j\in \mathbb {Z} }\left|\langle f,f_{j}\rangle \right|^{2}

.

Beispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Vektoren $(1/2,1/2),\,(1/2,i/2),\,(1/2,-1/2),\,(1/2,-i/2)$ sind ein straffer Frame für den $\mathbb {C} ^{2}.$

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Jedes Frame $\left\{f_{j}\right\}_{j\in \mathbb {Z} }$ ist ein Erzeugendensystem von $H$ im folgenden (topologischen) Sinne: Es gilt ${\overline {\operatorname {span} \{f_{j}\}}}=H$ .
Jede Orthonormalbasis ist ein Parsevalframe.
Insbesondere Parsevalframes verhalten sich ähnlich gutartig wie Orthonormalbasen, da für diese die Entwicklung $\textstyle f=\sum _{j\in \mathbb {Z} }\langle f,f_{j}\rangle f_{j}$ gilt. Im Unterschied zu Orthonormalbasen ist diese Zerlegung jedoch nicht eindeutig, das heißt, es kann auch andere Koeffizienten $\{c_{j}\}_{j\in \mathbb {Z} }$ geben mit $\textstyle f=\sum _{j\in \mathbb {Z} }c_{j}f_{j}\,.$