Gedächtnislosigkeit

Gedächtnislosigkeit ist eine spezielle Eigenschaft der Exponentialverteilung und der geometrischen Verteilung. Sie besagt, dass die bedingten Wahrscheinlichkeitsverteilungen für beliebige Vorbedingungen gleich sind.

Gedächtnislosigkeit findet z. B. in der Warteschlangentheorie Anwendung, wo sie – auf die Wartezeit in einer Warteschlange bezogen – bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit t Sekunden zu warten, nachdem man zuvor s Sekunden gewartet hat, für beliebige s gleich ist. Die Zufallsvariable „merkt“ sich also nicht, wie lange gewartet wurde, und ist daher gedächtnislos.

Diesen Umstand macht man sich auch bei der Überlebensfunktion zu Nutze, mit der man z. B. modelliert, dass die Ausfallwahrscheinlichkeit einer Komponente nicht von der bereits verstrichenen Nutzungsdauer abhängt.

In der Nachrichtentechnik verwendet man die Bezeichnung gedächtnislos für eine Nachrichtenquelle auch synonym zu stochastisch unabhängig.

Definition

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung $\scriptstyle F_{X}(x)$ einer Zufallsvariablen $\scriptstyle X$ ist gedächtnislos, wenn die bedingte Wahrscheinlichkeit gilt:

$P(X\geq s+t\,\mid \,X\geq s)={\frac {P(X\geq s+t)}{P(X\geq s)}}=P(X\geq t)\quad \forall s,t$

D. h. die bedingte Wahrscheinlichkeit entspricht der unbedingten Wahrscheinlichkeit, verschoben um die Vorbedingung s. Zum Beispiel:

$P(X>40\,\mid \,X>30)=P(X>10)$

Gedächtnislosigkeit ist eine definierende Eigenschaft. Auf einem stetigen Wahrscheinlichkeitsraum ist die Exponentialverteilung die gedächtnislose Verteilung, auf einem diskreten die geometrische Verteilung.

Exponentialverteilung

Für die Exponentialverteilung erhält man durch Einsetzen in die Definition:

$P(X\geq s+t\,\mid \,X\geq s)={\frac {P(X\geq s+t)}{P(X\geq s)}}={\frac {e^{-\lambda (s+t)}}{e^{-\lambda s}}}=e^{-\lambda t}=P(X\geq t)$

Geometrische Verteilung

Für die geometrische Verteilung mit der Definition $P(X=n)=p(1-p)^{n}$ für $n=0,1,2,\dotsc$ erhält man:

${\begin{aligned}P(X=n+k\,\mid \,X\geq n)&={\frac {P(X=n+k)}{P(X\geq n)}}={\frac {p(1-p)^{n+k}}{\sum _{i=n}^{\infty }p(1-p)^{i}}}={\frac {p(1-p)^{n+k}}{p(1-p)^{n}\sum _{i=0}^{\infty }(1-p)^{i}}}\\&={\frac {p(1-p)^{n+k}}{p(1-p)^{n}{\frac {1}{1-(1-p)}}}}={\frac {p(1-p)^{n+k}}{(1-p)^{n}}}=p(1-p)^{k}\\&=P(X=k).\end{aligned}}$

Markow-Ketten

Markow-Ketten bezeichnet man als gedächtnislos, wenn sie von der Ordnung 1 sind. In diesem Fall hängen die Übergangswahrscheinlichkeiten nur vom aktuellen Zustand des Markow-Prozesses ab. In diesem Zusammenhang spricht man auch von der Markow-Eigenschaft. Je nach Betrachtungsweise könnte man auch sagen, der Prozess hat ein Gedächtnis der Länge 1, da der neue Zustand nicht völlig unabhängig ist.

Literatur

• Christian Hesse: Angewandte Wahrscheinlichkeitstheorie: eine fundierte Einführung mit über 500 realitätsnahen Beispielen und Aufgaben, Vieweg, Braunschweig/Wiesbaden 2003, ISBN 978-3-528-03183-1.

Weblinks

• [1] - Mathepedia:Exponentialverteilung Abschnitt Gedächtnislosigkeit