Generischer Punkt

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Der Begriff des generischen Punktes gehört zum mathematischen Teilgebiet der mengentheoretischen Topologie, findet jedoch hauptsächlich in der algebraischen Geometrie Anwendung.

Definition[Bearbeiten]

Ein Punkt \eta eines topologischen Raumes X heißt generisch, wenn X der Abschluss der Teilmenge \{\eta\} ist. Äquivalent dazu ist die Bedingung, dass \eta in jeder offenen Teilmenge ungleich der leeren Menge enthalten ist.

Eigenschaften[Bearbeiten]

  • Räume, die einen generischen Punkt besitzen, sind stets irreduzibel.
  • Erfüllt ein Raum das Trennungsaxiom T0, so besitzt er höchstens einen generischen Punkt.
  • In Hausdorffräumen, die mehr als einen Punkt enthalten, gibt es keine generischen Punkte.
  • Ist x ein Punkt eines beliebigen topologischen Raumes X, so ist der Abschluss von \{x\} in X eine irreduzible Teilmenge Y von X, und x ist ein generischer Punkt von Y.

Beispiel aus der algebraischen Geometrie[Bearbeiten]

Ist A ein Integritätsring, so ist das Nullideal \{0\} der (einzige) generische Punkt des Spektrums \operatorname{Spec}A; der Restklassenkörper des generischen Punktes ist der Quotientenkörper von A.

Bedeutung für die algebraische Geometrie[Bearbeiten]

Ist X ein irreduzibles Schema und \eta sein generischer Punkt, so sind häufig Aussagen über offene Teilmengen von X äquivalent zu den entsprechenden Aussagen für \eta. Ist beispielsweise M eine kohärente Garbe auf X, so ist M_\eta=0 äquivalent dazu, dass M_x=0 für alle x in einer geeigneten offenen Teilmenge von X.

Verwandte Begriffe[Bearbeiten]

Besitzt in einem topologischen Raum jede irreduzible Teilmenge einen generischen Punkt, so heißt der Raum nüchtern.