Hilbert-C*-Modul

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Hilbert-C*-Moduln werden im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis betrachtet. Sie spielen eine wichtige Rolle im Aufbau der KK-Theorie, die Elemente der dort auftretenden Gruppen sind solche Moduln mit einer gewissen Zusatzstruktur. Hilbert-C*-Moduln sind in Analogie zu Hilberträumen definiert, wobei das innere Produkt Werte in einer C*-Algebra annimmt. Sie wurden 1953 von Irving Kaplansky für den Fall kommutativer C*-Algebren eingeführt[1] und 1973 von William Paschke für den allgemeinen Fall.[2]

Definition[Bearbeiten]

Es sei B eine C*-Algebra. Ein Prä-Hilbert-B-Modul ist ein Rechts-B-Modul E zusammen mit einer Abbildung \langle\cdot,\cdot \rangle: E \times E \rightarrow B, so dass

  1. \langle\cdot,\cdot \rangle ist sesquilinear (konjugiert linear in der ersten Variablen)
  2. \langle x,yb \rangle = \langle x,y \rangle b für alle x,y\in E, b\in B
  3. \langle x,y \rangle^* = \langle y,x \rangle für alle x,y\in E
  4. \langle x,x \rangle \ge 0 für alle x\in E, wobei \ge die durch die positiven Elemente definierte Ordnung auf B sei.
  5.  \langle x,x \rangle = 0 \Leftrightarrow x = 0 für alle x\in E.

Die offenbare Analogie zur Definition eines Hilbertraums lässt sich weiter ausbauen. Man zeigt die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung

 \|\langle x,y \rangle\| \le \|x\| \|y\| für alle x,y\in E (ohne Verwendung der fünften Bedingung)

und erhält so eine Halbnorm

 \|x\| :=   \|\langle x,x \rangle\|^{1/2}

auf E, die wegen der 5. Bedingung sogar eine Norm ist. Ist der Prä-Hilbert-B-Modul bezüglich dieser Norm vollständig, so nennt man ihn einen Hilbert-B-Modul.[3] Der wesentliche Unterschied zu Hilberträumen besteht darin, dass man keinen Projektionssatz beweisen kann, das heißt es gibt Unter-Hilbert-B-Moduln, die nicht stetig projizierbar sind.

Beispiele[Bearbeiten]

  • Eine C*-Algebra B ist mit der Definition \langle x,y \rangle := x^*y ein Hilbert-B-Modul. Dessen Unter-Hilbert-B-Moduln sind die abgeschlossenen Rechtsideale. B ist als Hilbert-B-Modul genau dann abzählbar erzeugt, das heißt es gibt eine abzählbare Teilmenge, so dass B der kleinste diese Menge umfassende Untermodul ist, wenn B σ-unital ist.
  • Ein Hilbertraum ist ein Hilbert-\C-Modul.
  • Für eine C*-Algebra B sei H_B der Raum aller Folgen (b_n)_n\in B^{\N}, für die \textstyle \sum_{n\in \N}b_n^*b_n \in B konvergiert. Mit der Definition \textstyle \langle (a_n)_n,(b_n)_n \rangle := \sum_{n\in \N}a_n^*b_n wird H_B zu einem Hilbert-B-Modul. Offenbar ist H_{\C} = \ell^2 der separable Folgenraum der quadratsummieren Folgen.

Konstruktionen[Bearbeiten]

Direkte Summen[Bearbeiten]

Direkte Summen E_1\oplus\ldots\oplus E_n von Hilbert-B-Moduln sind mit der Definition \textstyle \langle (x_i)_i,(y_i)_i \rangle := \sum_{i = 1}^n \langle x_i,y_i \rangle offenbar wieder Hilbert-B-Moduln.

Algebren von Operatoren[Bearbeiten]

Für zwei Hilbert-B-Moduln E und F sei L_B(E,F) die Menge aller Operatoren T:E\rightarrow F, für die es einen Operator T^*:F\rightarrow E gibt, so dass \langle Tx,y\rangle_F = \langle x,T^*y\rangle_E gilt für alle x\in E und y\in F. Man zeigt, dass solche Operatoren B-linear sind und einen abgeschlossenen Unterraum der stetigen, linearen Operatoren E\rightarrow F bilden. L_B(E) := L_B(E,E) ist mit der Operatornorm und der Involution T\mapsto T^* eine C*-Algebra.[4] Im Spezialfall E=B ist L_B(B) = M(B) isomorph zur Multiplikatorenalgebra von B.

Gewisse Operatoren aus L_B(E,F) lassen sich wie folgt in Analogie zu den eindimensionalen Operatoren auf Hilberträumen definieren. Sind x\in F und y\in E, so sei \theta_{x,y}:E\rightarrow F,\,\theta_{x,y}(z) := x\langle y,z\rangle. Man bestätigt leicht die Formel \theta_{x,y}^*=\theta_{y,x} und somit \theta_{x,y}\in L_B(E,F). Den von diesen Operatoren erzeugten, abgeschlossenen Unterraum bezeichnet man mit K_B(E,F) und nennt seine Elemente die kompakten Operatoren von E nach F, auch wenn es sich im Allgemeinen nicht um kompakte Operatoren im Sinne der Banachraumtheorie handelt. Leicht bestätigt man T\theta_{x,y}=\theta_{Tx,y} für ein T\in L_B(F), woraus L_B(F)K_B(E,F)\subset K_B(E,F) folgt, und ganz ähnlich auch K_B(E,F)L_B(E)\subset K_B(E,F). Damit ist K_B(E)\subset L_B(E) ein zweiseitiges Ideal. Offenbar ist K_{\C}(H_{\C}) das Ideal der kompakten Operatoren auf \ell^2.

Diese Konstruktionen hängen wie folgt zusammen: Für jede C*-Algebra B und jeden Hilbert-B-Modul E ist L_B(E) isomorph zur Multiplikatorenalgebra M(K_B(E)).[5] Insbesondere gibt einen *-Isomorphismus L_B(H_B) \cong M(K_{\C}\otimes B), der K_B(H_B) auf K_{\C}\otimes B abbildet.[6]

Unitäre Äquivalenz[Bearbeiten]

Zwei Hilbert-B-Moduln E und F heißen unitär äquivalent, in Zeichen E\cong F, wenn eine bijektive, lineare Abbildung U \in L_B(E,F) gibt mit \langle U(x),U(y) \rangle_F = \langle x,y\rangle_E für alle x,y\in E.

Innere Tensorprodukte[Bearbeiten]

Es seien E ein Hilbert-B-Modul, F ein Hilbert-A-Modul und \varphi:B\rightarrow L_B(F) ein *-Homomorphismus. Durch die Formel by := \varphi(b)(y) wird F zu einem Links-B-Modul und man kann daher das algebraische Tensorprodukt E \otimes_B F bilden, das durch die Definition (x\otimes_B y)a := x\otimes_B ya zu einem Rechts-A-Modul wird. Durch die Formel

 \langle x_1\otimes_B y_1, x_2\otimes_B y_2\rangle := \langle y_1, \varphi(\langle x_1,x_2\rangle_E)(y_2) \rangle_F

erhalten wir mittels linearer Ausdehnung eine Sesquilinearform auf E\otimes_B F, die alle Regeln aus der Definition des Prä-Hilbert-A-Moduls erfüllt bis auf eventuell Punkt 5, das heißt es kann Vektoren der Länge 0 geben. Indem man den Raum N := \{z\in E \otimes_B F; \langle z,z\rangle = 0\} der Vektoren der Länge herausdividiert, das heißt zum Faktorraum nach E\otimes_B F/N übergeht, und anschließend vervollständigt, erhält man einen Hilbert-A-Modul, den man mit E\otimes_\varphi F bezeichnet und das innere Tensorprodukt der Hilbert-C*-Moduln nennt.[7]

Äußeres Tensorprodukt[Bearbeiten]

Es seien wieder E ein Hilbert-B-Modul und F ein Hilbert-A-Modul. Dann ist das algebraische Tensorprodukt E\otimes_{\C} F mittels der Definition

(x\otimes y)\cdot (b\otimes a) := xb \otimes ya,\quad x\in E, y\in F, a\in A,b\in B

ein Rechts-B\otimes A-Modul und man erhält mittels linearer Ausdehnung aus

\langle x_1\otimes_\C y_1, x_2\otimes_C y_2 \rangle:= \langle x_1,x_2\rangle \otimes \langle y_1\otimes y_2\rangle

eine Sesquilinearform. Ist B\hat{\otimes} A das räumliche Tensorprodukt der C*-Algebren, so konstruiert man durch Herausdividieren von Vektoren der Länge 0 und durch Ausdehnen auf die Vervollständigungen einen Hilbert-B\hat{\otimes} A-Modul, den man mit E\hat{\otimes} F bezeichnet und das äußere Tensorprodukt der Hilbert-C*-Moduln nennt.[8]

Pushout[Bearbeiten]

Ist E ein Hilbert-B-Modul und \varphi:B\rightarrow A ein surjektiver *-Homomorphismus, so definiere N_\varphi := \{x\in E; \varphi(\langle x,x\rangle) = 0\}. Ist q:E\rightarrow E_\varphi := E/N_\varphi die Quotientenabbildung, so wird  E_\varphi durch die Definitionen

q(x)a := q(xb), wobei b\in B mit \varphi(b)=a
\langle q(x),q(y) \rangle := \varphi (\langle x,y \rangle),

deren Wohldefiniertheit zu zeigen ist, ein Hilbert-A-Modul, den man den Pushout von E bzgl. \varphi nennt. Man kann zeigen, dass E_\varphi \cong E\otimes_\varphi A, indem man A als Unteralgebra von M(A)\cong L_B(A) auffasst.[9]

Graduierte Hilbert-C*-Moduln[Bearbeiten]

Besonders für die KK-Theorie werden Hilbert-C*-Algebren mit einer Zusatz-Struktur, einer sogenannten Graduierung, genauer einer \Z/2-Graduierung verwendet. Es sei B eine graduierte C*-Algebra mit Graduierungsautomorphismus \alpha:B\rightarrow B, das heißt es ist

\alpha\circ \alpha = \mathrm{id}_B
B_0 := \{b\in B; \alpha(b)=b\}
B_1 := \{b\in B; \alpha(b)=-b\}

Dann ist B = B_0 \oplus B_1 die direkte Summenzerlegung zur \Z/2-Graduierung. Ein graduierter Hilbert-B-Modul ist ein Hilbert-B-Modul E zusammen mit einer linearen Bijektion S_E:E\rightarrow E, so dass

S_E \circ S_E = \mathrm{id}_E
S_E(xb) = S_E(x)\alpha(b) für alle x\in E, b\in B
\langle S_E(x), S_E(y) \rangle = \alpha(\langle x,y \rangle) für alle x,y\in E[10]

Wieder erhält man eine direkte Summenzerlegung E=E_0\oplus E_1, wobei

E_0 := \{x\in E; S_E(x) = x\}
E_1 := \{x\in E; S_E(x) = -x\}

und es folgt

E_iB_j\subset E_{i+j} und \langle E_i, E_j\rangle \subset B_{i+j} für alle i,j\in \Z/2 = \{0,1\}.

Durch den Automorphismus T\mapsto S_ETS_E^{-1} erhalten dann auch L_B(E) und K_B(E) eine Graduierung.

Graduierte Hilbert-C*-Moduln heißen unitär äquivalent, wenn sie als Hilbert-C*-Moduln unitär äquivalent sind mit einem unitären Operator, der die Graduierung erhält.

Dies verallgemeinert die oben eingeführten Begriffe ohne Graduierung, denn jede C*-Algebra kann mittels \alpha = \mathrm{id}_A trivial graduiert werden und ebenso jeder Hilbert-B-Modul mittels S_E = \mathrm{id}_E.

Um auch H_B zu graduieren, hat man zwei Möglichkeiten, nämlich S(b_1, b_2, b_3, \ldots) := (\alpha(b_1), \alpha(b_2), \alpha (b_3),\ldots) und -S(b_1, b_2, b_3, \ldots) = (-\alpha(b_1), -\alpha(b_2),-\alpha (b_3),\ldots). Wir definieren daher

\hat{H}_B := H_B\oplus H_B mit der Graduierung S\oplus -S.

Die oben angeführten Konstruktionen lassen sich auch für graduierte Hilbert-C*-Moduln definieren, wobei das graduierte Tensorprodukt zu nehmen ist und alle auftretenden Morphismen mit den Graduierungen verträglich sein müssen. Die hiermit zusammenhängenden Einzelheiten sind sehr technisch und werden hier übergangen.

Stabilisierungssatz von Kasparow[Bearbeiten]

Für die KK-Theorie erweist sich der sogenannte Stabilisierungssatz von Kasparow als wichtig. Dieser Satz gilt für graduierte und nicht-graduierte Hilbert-C*-Moduln, er sagt aus, dass H_B bereits alle abzählbar erzeugten Hilbert-C*-Moduln als direkte Summanden enthält, und analog für graduierte Moduln. Es gilt sogar etwas mehr:[11]

  • Ist E ein abzählbar erzeugter Hilbert-B-Modul über einer C*-Algebra B, so ist E\oplus H_B \cong H_B.
  • Ist E ein abzählbar erzeugter, graduierter Hilbert-B-Modul über einer graduierten C*-Algebra B, so ist E\oplus \hat{H}_B \cong \hat{H}_B.

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. I. Kaplansky: Modules over operator algebras, Amer. J. of Math. (1953), Band 75, Seiten 838-858
  2. W. L. Paschke: Inner product moduls over B*-algebras, Transactions Amer. Math. Soc. (1973), Band 182, Seiten 443-468
  3. Bruce Blackadar: K-Theory for Operator Algebras, Springer Verlag (1986), ISBN 3-540-96391-X, Definition 13.1.1
  4. K. K. Jensen, K. Thomsen: Elements of KK-Theory, Birkhäuser-Verlag (1991), ISBN 0-8176-3496-7, Lemma 1.1.7
  5. Bruce Blackadar: K-Theory for Operator Algebras, Springer Verlag (1986), ISBN 3-540-96391-X, Theorem 13.4.1
  6. K. K. Jensen, K. Thomsen: Elements of KK-Theory, Birkhäuser-Verlag (1991), ISBN 0-8176-3496-7, Lemma 1.2.7
  7. K. K. Jensen, K. Thomsen: Elements of KK-Theory, Birkhäuser-Verlag (1991), ISBN 0-8176-3496-7, Abschnitt 1.2.3
  8. K. K. Jensen, K. Thomsen: Elements of KK-Theory, Birkhäuser-Verlag (1991), ISBN 0-8176-3496-7, Abschnitt 1.2.4
  9. K. K. Jensen, K. Thomsen: Elements of KK-Theory, Birkhäuser-Verlag (1991), ISBN 0-8176-3496-7, Lemma 1.2.5
  10. K. K. Jensen, K. Thomsen: Elements of KK-Theory, Birkhäuser-Verlag (1991), ISBN 0-8176-3496-7, Definition 1.2.10
  11. K. K. Jensen, K. Thomsen: Elements of KK-Theory, Birkhäuser-Verlag (1991), ISBN 0-8176-3496-7, Theorem 1.1.24 und Theorem 1.2.12