Holomorphiegebiet

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Das Holomorphiegebiet wird in der mehrdimensionalen Funktionentheorie betrachtet. Auf jedem Holomorphiegebiet gibt es eine holomorphe Funktion, welche nicht über das Gebiet fortgesetzt werden kann.

Definition[Bearbeiten]

Die Mengen in der Definition

Eine offene Menge \Omega \subset \mathbb{C}^n heißt Holomorphiegebiet, falls es keine offenen Teilmengen \Omega_1 und \Omega_2 in \C^n gibt mit den folgenden Eigenschaften:

  1. \emptyset \neq \Omega_1 \subset \Omega_2 \cap \Omega.
  2. \Omega_2 ist zusammenhängend und nicht in \Omega enthalten.
  3. Für jede holomorphe Funktion u : \Omega \to \C existiert eine (notwendigerweise eindeutige) holomorphe Funktion u_2 : \Omega_2 \to \C, so u = u_2 in \Omega_1 gilt.

Beispiele[Bearbeiten]

  • Einfache Beispiele sind der \C^n, die offene Kugel oder der Polyzylinder.
  • Jede konvexe Menge ist ein Holomorphiegebiet.
  • Ein Gebiet ist genau dann ein Holomorphiegebiet, wenn es pseudokonvex ist.
  • Im Fall n=1 ist jede offene Teilmenge \Omega \subset \C ein Holomorphiegebiet. Wähle eine holomorphe Funktion f \in \mathcal{O}(\C) nur mit Nullstellen auf allen Randpunkten von \Omega, so kann man \frac{1}{f} nicht über \Omega hinaus fortsetzen. Das Lemma von Hartogs zeigt, dass eine analoge Aussage für n>1 falsch ist.

Literatur[Bearbeiten]

  • Lars Hörmander: An Introduction to Complex Analysis in Several Variables. North-Holland Pub. Co., Amsterdam; American Elsevier Pub. Co., New York 1973, ISBN 9780444105233.