Homologiesphäre

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Eine Homologiesphäre bezeichnet in der Mathematik eine n-dimensionale Mannigfaltigkeit M, deren Homologiegruppen isomorph zu denen der gewöhnlichen n-Sphäre sind oder expliziter ausgedrückt eine n-dimensionale Mannigfaltigkeit M, für deren singulären Homologiegruppen

H_0(M,\Z) \cong H_n(M,\Z) \cong \Z

und

H_j(M,\Z) = \{0\} für alle anderen j

gelten.

Aus der Homologie kann man ablesen, dass M eine kompakte, zusammenhängende Mannigfaltigkeit ohne Rand ist. Im Allgemeinen ist M jedoch nicht einfach zusammenhängend: Teilt man die Fundamentalgruppe \pi_1(M) durch ihre Kommutatorgruppe dann erhält man eine Gruppe, die isomorph zur ersten Homologiegruppe H_1(M,\Z) ist. Das bedeutet aus H_1(M,\Z) = \{0\} kann man lediglich schließen, dass die Fundamentalgruppe eine perfekte Gruppe, also zu ihrer Kommutatorgruppe isomorph ist, nicht aber dass \pi_1(M) trivial sein muss.

Historisch wurden Homologiesphären zuerst in der 3-dimensionalen Topologie betrachtet.

Poincaré glaubte anfangs, dass der Homologiering ausreichen müsste, um die 3-dimensionale Standardsphäre eindeutig zu charakterisieren. Er entdeckte aber ein Gegenbeispiel (die sogenannte Poincaré-Homologiesphäre) und formulierte dann die schärfere Poincaré-Vermutung (bei der zusätzlich \pi_1(M) =\{0\} gefordert wird), die erst ca. 100 Jahre später von Perelman bewiesen wurde.