Perfekte Gruppe

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Wechseln zu: Navigation, Suche

In der Mathematik bezeichnet man als perfekte Gruppen diejenigen Gruppen, die mit ihrer Kommutatorgruppe identisch sind.

Eine Gruppe G ist demnach perfekt, wenn G=[G,G]=G' gilt, wobei G'=[G,G] die Kommutatorgruppe bezeichnet. Früher wurden perfekte Gruppen auch als vollkommene Gruppen bezeichnet.

Eigenschaften[Bearbeiten]

Hinweis: Die hier vorgestellten Eigenschaften beziehen sich auf nicht triviale perfekte Gruppen.

Faktorgruppen perfekter Gruppen sind perfekt. Da jede kommutative Faktorgruppe die Kommutatorgruppe herausfaktorisiert, besitzen perfekte Gruppen keine nicht trivialen abelschen Faktorgruppe. Perfekte Gruppen sind also höchstgradig nicht abelsch, da die Kommutatorgruppe der kleinste Normalteiler ist, sodass die zugehörige Faktorgruppe abelsch ist. Insbesondere sind perfekte Gruppen daher nicht auflösbar und besitzen somit auch keine auflösbaren Faktorgruppen.

Beispiele[Bearbeiten]

Die alternierenden Gruppen A_n sind perfekt für n \geq 5, denn sie sind sogar einfach, besitzen also keine nicht-trivialen Normalteiler, und sie sind nicht abelsch, also ist die Kommutatorgruppe die gesamte Gruppe. Da A_4' = V mit der kleinschen Vierergruppe V gilt, ist A_4 nicht perfekt. Die abelsche Gruppe A_3 ist einfach, aber nicht perfekt, denn als abelsche Gruppe besitzt sie die triviale Gruppe als Kommutatorgruppe.

Die spezielle lineare Gruppe SL(2,\mathbb{F}_5) ist perfekt, aber nicht einfach.

Weblinks[Bearbeiten]