Ideales Simplex

Das ideale Simplex ist ein Begriff aus der Geometrie und beschreibt ein Simplex mit „Ecken im Unendlichen“.

Ideale Simplizes in der hyperbolischen Geometrie

Definition

Es bezeichne $H^{n}$ den $n$-dimensionalen hyperbolischen Raum und $\partial _{\infty }H^{n}$ seinen Geodätischen Rand.

Ein ideales Simplex ist ein geodätisches Simplex in ${\overline {H^{n}}}:=H^{n}\cup \partial _{\infty }H^{n}$, dessen Ecken in $\partial _{\infty }H^{n}$ liegen.

Man kann zeigen, dass es zu jedem Tupel $(v_{0},\ldots ,v_{k})\in (\partial _{\infty }H^{n})^{k+1}$ ein ideales $k$-Simplex mit Ecken $v_{0},\ldots ,v_{k}$ gibt.

Dimension 2

Alle idealen Dreiecke in der hyperbolischen Ebene (oder in einem höher-dimensionalen hyperbolischen Raum) sind isometrisch. Das ist eine unmittelbare Folgerung aus der Tatsache, dass die Gruppe $PSL(2,\mathbb {R} )$ der orientierungserhaltenden Isometrien der hyperbolischen Ebene $3$-fach transitiv auf $\partial _{\infty }H^{2}=\mathbb {R} P^{1}$ wirkt.

Dimension 3

Nicht-entartete ideale Tetraeder im 3-dimensionalen hyperbolischen Raum werden bis auf Isometrie durch das Doppelverhältnis ihrer $4$ Ecken klassifiziert. Auch das ist eine unmittelbare Folgerung aus der Tatsache, dass die Gruppe $PSL(2,\mathbb {C} )$ der orientierungserhaltenden Isometrien des hyperbolischen Raumes $3$-fach transitiv auf $\partial _{\infty }H^{3}=\mathbb {C} P^{1}$ wirkt.

Reguläre Simplizes

Ein ideales Simplex mit Ecken $(v_{0},\ldots ,v_{k})\in (\partial _{\infty }H^{n})^{k+1}$ heißt regulär, wenn es zu jeder Permutation $\pi$ der Ecken eine Isometrie $g\colon H^{n}\to H^{n}$ mit $g(v_{i})=\pi (v_{i})$ gibt.

Volumen

Die idealen $n$-Simplizes maximalen Volumens sind genau die regulären idealen Simplizes. Insbesondere gibt es eine obere Schranke für das Volumen idealer Simplizes im hyperbolischen Raum.

Verallgemeinerungen

Allgemeiner kann man ideale Simplizes in einfach zusammenhängenden Räumen nichtpositiver Schnittkrümmung ebenfalls als geodätische Simplizes mit Ecken im Rand im Unendlichen definieren.

In einfach zusammenhängenden Räumen negativer Schnittkrümmung gibt es zu jedem Tupel von Punkten im Rand im Unendlichen wieder ein ideales Simplex mit diesen Ecken. Bei lediglich nichtpositiver Schnittkrümmung muss das im Allgemeinen nicht der Fall sein.

Literatur

• Benedetti, Riccardo; Petronio, Carlo: Lectures on hyperbolic geometry. Universitext. Berlin etc.: Springer-Verlag. (1992)
• Ratcliffe, John G.: Foundations of hyperbolic manifolds. 2nd ed. Graduate Texts in Mathematics 149. New York, NY: Springer (ISBN 0-387-33197-2) (2006).
• Ballmann, Werner; Gromov, Mikhael; Schroeder, Viktor: Manifolds of nonpositive curvature. Progress in Mathematics, 61. Boston-Basel-Stuttgart: Birkhäuser. (1985)