Isometrie

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Eine Isometrie ist in der Mathematik eine Funktion, die zwei metrische Räume aufeinander abbildet und dabei die Metrik erhält.

[Bearbeiten] Definition

Sind zwei metrische Räume (M₁,d₁), (M₂,d₂) gegeben, und eine Abbildung mit der Eigenschaft

,

dann heißt f Isometrie von M₁ nach M₂. Eine solche Abbildung ist stets injektiv. Ist f sogar bijektiv, dann heißt f isometrischer Isomorphismus, und die Räume M₁ und M₂ heißen isometrisch isomorph; andernfalls nennt man f eine isometrische Einbettung von M₁ in M₂.

[Bearbeiten] Weitere Eigenschaften

Jeder metrische Raum ist isometrisch isomorph zu einer abgeschlossenen Teilmenge eines normierten Vektorraums, und jeder vollständige metrische Raum ist isometrisch isomorph zu einer abgeschlossenen Teilmenge eines Banachraums.

Gilt M₁ = M₂ und d₁ = d₂ und werden durch f zwei Figuren aufeinander abgebildet, so heißen die Figuren kongruent zueinander. Gilt M₁ = M₂ und , so heißen sie ähnlich; ansonsten spricht man einfach von isometrischen Figuren.

[Bearbeiten] Literatur

S. Bosch: Lineare Algebra, Springer-Verlag, ISBN 3-540-00121-2