Isometrie

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie

Wechseln zu: Navigation, Suche
Wikipedia:Hauptseite
Dieser Artikel behandelt die mathematische Funktion. Für die räumliche Darstellung siehe Axonometrie, zur Muskelkontraktion siehe Isometrische Kontraktion.

Eine Isometrie ist in der Mathematik eine Funktion, die zwei metrische Räume aufeinander abbildet und dabei die Metrik erhält.

[Bearbeiten] Definition

Sind zwei metrische Räume (M1,d1), (M2,d2) gegeben, und f : M_1 \rightarrow M_2 eine Abbildung mit der Eigenschaft

d_2(f(x),f(y)) = d_1(x,y)\ ,

dann heißt f Isometrie von M1 nach M2. Eine solche Abbildung ist stets injektiv. Ist f sogar bijektiv, dann heißt f isometrischer Isomorphismus, und die Räume M1 und M2 heißen isometrisch isomorph; andernfalls nennt man f eine isometrische Einbettung von M1 in M2.

[Bearbeiten] Weitere Eigenschaften

Jeder metrische Raum ist isometrisch isomorph zu einer abgeschlossenen Teilmenge eines normierten Vektorraums, und jeder vollständige metrische Raum ist isometrisch isomorph zu einer abgeschlossenen Teilmenge eines Banachraums.

Gilt M1 = M2 und d1 = d2 und werden durch f zwei Figuren aufeinander abgebildet, so heißen die Figuren kongruent zueinander. Gilt M1 = M2 und d_1 \neq d_2, so heißen sie ähnlich; ansonsten spricht man einfach von isometrischen Figuren.

[Bearbeiten] Literatur

S. Bosch: Lineare Algebra, Springer-Verlag, ISBN 3-540-00121-2

Persönliche Werkzeuge
Buch erstellen