Immanente

Die Immanente ist eine von Dudley Littlewood und Archibald Richardson definierte Größe einer Matrix. Sie ist eine Verallgemeinerung der Determinante sowie der Permanente.

Sei $\lambda =\left(\lambda _{1},\lambda _{2},\dots \right)$ eine Partition von $n$ und $\chi _{\lambda }$ der korrespondierende irreduzible darstellungstheoretische Charakter der symmetrischen Gruppe ${\mathfrak {S}}_{n}$. Die Immanente mit dem Charakter $\chi _{\lambda }$ einer $n\times n$-Matrix $A=\left(a_{ij}\right)_{ij}$ wird definiert als

$\operatorname {Imm} _{\chi }(A):=\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{n}}\chi (\sigma )\prod _{i=1}^{n}a_{i,\sigma (i)}$

Die Permanente ist der Spezialfall mit dem trivialen Charakter.

Die Determinante ist der Spezialfall der Immanente mit $\chi _{\lambda }=\operatorname {sgn}$, dem alternierenden Charakter.

Beispielsweise gibt es für $3\times 3$-Matrizen drei irreduzible Darstellungen von ${\mathfrak {S}}_{3}$, wie folgende Tabelle zeigt.

${\mathfrak {S}}_{3}$	$e$	$(1\,2)$	$(1\,2\,3)$
$\chi _{1}$	1	1	1
$\chi _{2}$	1	−1	1
$\chi _{3}$	2	0	−1

Wie oben erwähnt ergeben $\chi _{1}$ und $\chi _{2}$ die Permanente bzw. die Determinante; dagegen erhält man mit $\chi _{3}$ die Abbildung

$\operatorname {Imm} _{\chi _{3}}{\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}}\quad =\quad 2a_{11}a_{22}a_{33}-a_{12}a_{23}a_{31}-a_{13}a_{21}a_{32}$

Littlewood und Richardson studierten die Zusammenhänge mit Schur-Polynomen.

Belege

• Dudley Littlewood, Archibald Richardson: Group characters and algebras. In: Philosophical Transactions of the Royal Society A. 233. Jahrgang, Nr. 721–730, 1934, S. 99–124, doi:10.1098/rsta.1934.0015 (englisch). 

• Dudley Littlewood: The Theory of Group Characters and Matrix Representations of Groups. 2. Auflage. Oxford Univ. Press (Nachdruck bei AMS, 2006), 1950, S. 81 (englisch).