Symmetrische Gruppe

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Die symmetrische Gruppe Sn (oder \mathfrak{S}_n oder Symn) ist die Gruppe, die aus allen Permutationen (Vertauschungen) einer n-elementigen Menge besteht. Die Gruppenoperation ist die Verkettung (Hintereinanderausführung) der Permutationen; das neutrale Element ist die Permutation, die alle Elemente invariant lässt. Die symmetrische Gruppe Sn ist endlich und besitzt die Ordnung n!; für n > 2 ist sie nicht kommutativ.

Inhaltsverzeichnis

[Bearbeiten] Notation

Es gibt verschiedene Möglichkeiten, eine Permutation zu notieren; bildet zum Beispiel eine Permutation p das Element 1 auf p1, das Element 2 auf p2 usw. ab, so kann man hierfür

p = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & \dots \\ p_1 & p_2 & p_3 & \dots \end{pmatrix}

schreiben. (Es ist nicht unbedingt gefordert, dass die Zahlen in der oberen Zeile geordnet sind.) In dieser Schreibweise erhält man die inverse Permutation p − 1, indem man die obere und die untere Zeile vertauscht.

Eine andere wichtige Schreibweise ist die Zyklenschreibweise: geht p1 in p2, p2 in p3, ..., pk in p1 über, und bleiben alle anderen Elemente invariant, so schreibt man hierfür

p = \begin{pmatrix} p_1 & p_2 & p_3 & \dots & p_k \end{pmatrix},

und nennt dies einen Zyklus der Länge k. Jede Permutation kann als Produkt von disjunkten Zyklen geschrieben werden.

[Bearbeiten] Eigenschaften

[Bearbeiten] Erzeugende Mengen

  • Jede Permutation kann als Produkt von Transpositionen (Zweierzyklen) dargestellt werden; je nachdem, ob diese Anzahl gerad- oder ungeradzahlig ist, spricht man von geraden oder ungeraden Permutationen. Die Menge der geradzahligen Permutationenen bilden eine Untergruppe der Sn, die alternierende Gruppe An.
  • Auch die beiden Elemente \begin{pmatrix} 1 & 2 \end{pmatrix} und \begin{pmatrix} 1 & 2 & \dots & n\end{pmatrix} erzeugen die symmetrische Gruppe Sn.

[Bearbeiten] Konjugationsklassen

Zwei Elemente der symmetrischen Gruppe sind genau dann zueinander konjugiert, wenn sie dieselbe Zyklenstruktur aufweisen, das heißt, die Anzahl der Einer-, Zweier-, Dreier- usw. -Zyklen stimmen überein. In diesem Fall handelt es sich nur um eine Umnummerierung der Elemente, die permutiert werden.

[Bearbeiten] Normalteiler

Die symmetrische Gruppe Sn besitzt außer den trivialen Normalteilern {1} und Sn nur die alternierende Gruppe An als Normalteiler, für n = 4 zusätzlich noch die Kleinsche Vierergruppe V.

[Bearbeiten] Satz von Cayley

Nach dem Satz von Cayley ist jede endliche Gruppe G zu einer Untergruppe der symmetrischen Gruppe Sn isomorph, wobei n nicht größer als die Ordnung von G ist.


[Bearbeiten] Rechenbeispiele

Die Verkettung zweier Permutationen p1 und p2 wird als p_2 \circ p_1 geschrieben: zuerst wird die Permutation p1 ausgeführt, dann wird auf das Ergebnis die Permutation p2 angewandt (die Operationen sind von rechts nach links zu lesen).

Beispiel:

\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 1 & 4\end{pmatrix}\circ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 2 & 4 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 3 & 4 & 2\end{pmatrix}.

In Zyklenschreibweise lautet dies:

\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}\circ \begin{pmatrix} 1 & 3 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 4 \end{pmatrix}.

Zunächst bildet die „rechte“ Permutation die 4 auf die 1 ab, anschließend bildet die „linke“ Permutation die 1 auf die 2 ab; die gesamte Verkettung bildet also die 4 auf die 2 ab.

Für n > 2 ist die symmetrische Gruppe Sn nicht kommutativ, wie man an folgender Rechnung sieht:

\begin{pmatrix}1&2&3&\ldots\\2&3&1&\ldots\end{pmatrix}\circ \begin{pmatrix}1&2&3&\ldots\\2&1&3&\ldots\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1&2&3&\ldots\\3&2&1&\ldots\end{pmatrix} \neq \begin{pmatrix}1&2&3&\ldots\\1&3&2&\ldots\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1&2&3&\ldots\\2&1&3&\ldots\end{pmatrix}\circ \begin{pmatrix}1&2&3&\ldots\\2&3&1&\ldots\end{pmatrix}.

[Bearbeiten] Siehe auch

Von „http://de.wikipedia.org/wiki/Symmetrische_Gruppe“
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