Symmetrische Gruppe

Ein Cayleygraph der sym. Gruppe S₄

Verknüpfungstafel der sym. Gruppe S₃
(als Multiplikationstafel der Permutationsmatrizen)

Die symmetrische Gruppe S_n (oder $\mathfrak{S}_n$ oder Sym_n) ist die Gruppe, die aus allen Permutationen (Vertauschungen) einer n-elementigen Menge besteht. Man nennt n den Grad der Gruppe. Die Gruppenoperation ist die Komposition (Hintereinanderausführung) der Permutationen; das neutrale Element ist die identische Abbildung. Die symmetrische Gruppe S_n ist endlich und besitzt die Ordnung n!. Sie ist für n > 2 nicht abelsch.

Notation, Zyklenschreibweise

Es gibt verschiedene Möglichkeiten, eine Permutation zu notieren. Bildet zum Beispiel eine Permutation p das Element 1 auf p₁, das Element 2 auf p₂ usw. ab, so kann man hierfür

$p = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & \dots \\ p_1 & p_2 & p_3 & \dots \end{pmatrix}$

schreiben. (Es ist nicht unbedingt gefordert, dass die Zahlen in der oberen Zeile geordnet sind.) In dieser Schreibweise erhält man die inverse Permutation p ^{− 1}, indem man die obere und die untere Zeile vertauscht.

Eine andere wichtige Schreibweise ist die Zyklenschreibweise:

Sind $p_1,p_2,\ldots p_k$ verschieden, geht p₁ in p₂, p₂ in p₃, ..., p_k in p₁ über, und bleiben alle anderen Elemente invariant, so schreibt man hierfür

$p = \begin{pmatrix} p_1 & p_2 & p_3 & \dots & p_k \end{pmatrix},$

und nennt dies einen Zyklus der Länge k. Zwei Zyklen der Länge k beschreiben genau dann die gleiche Abbildung, wenn der eine durch zyklische Vertauschung seiner Einträge p_k zum anderen wird. Zum Beispiel gilt $\begin{pmatrix} 1 & 5 & 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 3 & 1\end{pmatrix}\neq \begin{pmatrix} 1 & 3 & 5\end{pmatrix}.$

Jede Permutation kann als Produkt von disjunkten Zyklen geschrieben werden. (Hierbei heißen zwei Zyklen $\begin{pmatrix} p_1 & p_2 & p_3 & \dots & p_k \end{pmatrix}$ und $\begin{pmatrix} q_1 & q_2 & q_3 & \dots & q_l \end{pmatrix}$ disjunkt, wenn $p_i\neq q_j$ für alle i und j gilt.) Diese Darstellung als Produkt von disjunkten Zyklen ist sogar eindeutig bis auf zyklische Vertauschung der Einträge innerhalb von Zyklen und die Reihenfolge der Zyklen (diese Reihenfolge kann beliebig sein: disjunkte Zyklen kommutieren stets miteinander).

Eigenschaften

Erzeugende Mengen

• Jede Permutation kann als Produkt von Transpositionen (Zweierzyklen) dargestellt werden; je nachdem, ob diese Anzahl gerad- oder ungeradzahlig ist, spricht man von geraden oder ungeraden Permutationen. Unabhängig davon, wie man das Produkt wählt, ist diese Anzahl entweder immer gerade oder immer ungerade und wird durch das Signum der Permutation beschrieben. Die Menge der geradzahligen Permutationen bildet eine Untergruppe der S_n, die alternierende Gruppe A_n.
• Auch die beiden Elemente $\begin{pmatrix} 1 & 2 \end{pmatrix}$ und $\begin{pmatrix} 1 & 2 & \dots & n\end{pmatrix}$ erzeugen die symmetrische Gruppe S_n. Allgemeiner, ein beliebiger n-Zyklus zusammen mit einer beliebigen Transposition.
• Falls $n\neq 4$ lässt sich zu einem beliebigen Element (nicht die Identität) ein Zweites derart wählen, dass beide Elemente die S_n erzeugen.

Konjugationsklassen

Zwei Elemente der symmetrischen Gruppe sind genau dann zueinander konjugiert, wenn sie in der Darstellung als Produkt disjunkter Zyklen dieselbe Struktur aufweisen, das heißt, die Anzahl der Einer-, Zweier-, Dreier- usw. -Zyklen stimmen überein. In dieser Darstellung bedeutet die Konjugation eine Umnummerierung der Zahlen, die in den Zykeln stehen.

Jede Konjugationsklasse der S_n entspricht daher umkehrbar eindeutig einer Zahlpartition von n und die Anzahl ihrer Konjugationsklassen ist gleich dem Wert der Partitionsfunktion an der Stelle $n,\, P(n).$

Zum Beispiel liegen die Elemente $\begin{pmatrix}1&2&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}4&5\end{pmatrix};\begin{pmatrix}7&1&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3&4\end{pmatrix}\in S_7$ in der Konjugationsklasse die der Zahlpartition 7 = 3 + 2 + 1 + 1 von 7 zugeordnet ist und die S₇ hat P(7) = 15 verschiedene Konjugationsklassen.

Normalteiler

Die symmetrische Gruppe S_n besitzt außer den trivialen Normalteilern {id} und S_n nur die alternierende Gruppe A_n als Normalteiler, für n = 4 zusätzlich noch die Kleinsche Vierergruppe V.

Satz von Cayley

Nach dem Satz von Cayley ist jede endliche Gruppe G zu einer Untergruppe der symmetrischen Gruppe S_n isomorph, wobei n nicht größer als die Ordnung von G ist.

Rechenbeispiele

Die Verkettung zweier Permutationen p₁ und p₂ wird als $p_2 \circ p_1$ geschrieben: zuerst wird die Permutation p₁ ausgeführt, dann wird auf das Ergebnis die Permutation p₂ angewandt (die Operationen sind von rechts nach links zu lesen).

Beispiel:

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 1 & 4\end{pmatrix}\circ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 2 & 4 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 3 & 4 & 2\end{pmatrix}.$

In Zyklenschreibweise lautet dies:

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}\circ \begin{pmatrix} 1 & 3 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 4 \end{pmatrix}.$

Zunächst bildet die „rechte“ Permutation die 4 auf die 1 ab, anschließend bildet die „linke“ Permutation die 1 auf die 2 ab; die gesamte Verkettung bildet also die 4 auf die 2 ab.

Für n > 2 ist die symmetrische Gruppe S_n nicht abelsch, wie man an folgender Rechnung sieht:

$\begin{pmatrix}1&2&3&\ldots\\2&3&1&\ldots\end{pmatrix}\circ \begin{pmatrix}1&2&3&\ldots\\2&1&3&\ldots\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1&2&3&\ldots\\3&2&1&\ldots\end{pmatrix}\ \neq$

$\begin{pmatrix}1&2&3&\ldots\\2&1&3&\ldots\end{pmatrix}\circ \begin{pmatrix}1&2&3&\ldots\\2&3&1&\ldots\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1&2&3&\ldots\\1&3&2&\ldots\end{pmatrix}$

Siehe auch

• symmetrische Gruppe vom Grad 3
• Alternierende Gruppe
• Gruppentheorie
• endliche Gruppe
• Young-Tableau