Untermannigfaltigkeit

In der Differentialgeometrie beziehungsweise Differentialtopologie ist eine Untermannigfaltigkeit eine Teilmenge einer Mannigfaltigkeit, die mit den Karten der Mannigfaltigkeit verträglich ist.

Eingebettete Untermannigfaltigkeit

Eine Teilmenge $N$ einer $n$-dimensionalen Mannigfaltigkeit $M$ ist genau dann eine $k$-dimensionale eingebettete Untermannigfaltigkeit, wenn für jeden Punkt $p \in N$ eine Karte $(\varphi,U)$ von $M$ existiert, so dass die Gleichung

$\varphi(N\cap U) = (\mathbb{R}^k \times 0) \cap \varphi(U)$

erfüllt ist. Das Zeichen $0 \in \R^{n-k}$ bezeichnet hier den (n-k)-Tupel $(0,...,0)$. Jede eingebettete Untermannigfaltigkeit ist mit den gerade angegebenen Karten und der induzierten Unterraumtopologie wieder eine Mannigfaltigkeit.

Standardbeispiele für Untermannigfaltigkeiten sind die offenen Mengen des $R^n$ (gleichdimensional) oder der Äquator einer Sphäre (niederdimensional). Allgemein ist das Urbild eines regulären Wertes einer Funktion f: M → X eine Untermannigfaltigkeit von M, siehe Satz vom regulären Wert.

Literatur

• Klaus Jänich: Vektoranalysis. 2. Auflage. Springer-Verlag, Berlin u. a. 1993, ISBN 3-540-57142-6.
• R. Abraham, J. E. Marsden, T. Ratiu: Manifolds, Tensor Analysis, and Applications (= Applied Mathematical Sciences 75). 2nd Edition. Springer-Verlag, New York NY u. a. 1988, ISBN 0-387-96790-7.