Untermannigfaltigkeit

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Dieser Artikel behandelt Untermannigfaltigkeiten abstrakter Mannigfaltigkeiten. Untermannigfaltigkeiten des \R^n werden im Artikel Reelle Untermannigfaltigkeit behandelt.

In der Differentialgeometrie beziehungsweise Differentialtopologie ist eine Untermannigfaltigkeit eine Teilmenge einer Mannigfaltigkeit, die mit den Karten der Mannigfaltigkeit verträglich ist.

Definition[Bearbeiten]

Eine Teilmenge N einer n-dimensionalen Mannigfaltigkeit M ist genau dann eine k-dimensionale (eingebettete) Untermannigfaltigkeit, wenn für jeden Punkt p \in N eine Karte (\varphi,U) von M existiert, so dass die Gleichung

\varphi(N\cap U) = (\mathbb{R}^k \times 0) \cap \varphi(U)

erfüllt ist. Das Zeichen 0 \in \R^{n-k} bezeichnet hier den (n-k) -Tupel (0,...,0). Jede (eingebettete) Untermannigfaltigkeit ist mit den gerade angegebenen Karten und der induzierten Unterraumtopologie wieder eine Mannigfaltigkeit.

Es gibt auch eine allgemeinere Definition von immersierten Untermannigfaltigkeiten, diese sind definiert als das Bild einer injektiven Immersion einer Mannigfaltigkeit. Wenn ohne weiteren Zusatz von Untermannigfaltigkeiten gesprochen wird, sind jedoch in aller Regel eingebettete Untermannigfaltigkeiten gemeint.

Standardbeispiele für Untermannigfaltigkeiten sind die offenen Mengen des R^n (gleichdimensional) oder der Äquator einer Sphäre (niederdimensional). Allgemein ist das Urbild eines regulären Wertes einer Funktion f\colon\, M\to X eine Untermannigfaltigkeit von M, siehe Satz vom regulären Wert.

Literatur[Bearbeiten]