Jordan-Maß

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Das Jordan-Maß ist ein Begriff aus der Maßtheorie. Dieser geht auf Marie Ennemond Camille Jordan zurück, welcher ihn im Jahr 1890 aufbauend auf Arbeiten von Giuseppe Peano entwickelte. Mit dem Jordan-Maß kann man beschränkten Teilmengen des \R^n einen Inhalt zuordnen und erhält einen Integralbegriff, der dem riemannschen Integralbegriff analog ist.

Definition[Bearbeiten]

Eine Menge A\subset \R^2 (mit blauem Rand) wird einmal durch Teilmengen (wie die Menge mit grünem Rand) und einmal durch Obermengen (wie die Menge mit lila Rand) aus \mathcal J^2 angenähert.

Es bezeichne für a = (a_1, \ldots , a_n), b = (b_1, \ldots , b_n) \in \R^n

]a,b[ \;:= \prod_{i=1}^n\; ]a_i, b_i[

das offene n-dimensionale Hyperrechteck und

 J^n := \{ ]a,b[ : a,b \in \R^n , a \leq b \}

die Menge aller solcher Hyperrechtecke. Weiter sei

 \mathcal{J}^n := \left\{ \bigcup_{k=1}^m I_k: I_1, \ldots , I_m \in J^n,\ \text{paarweise disjunkt}\right\}

die Menge aller endlichen Vereinigungen von paarweise disjunkten Hyperrechtecken.

Es bezeichne weiter \mu^n den Inhalt, der für alle a, b \in \R^n mit a_i \leq b_i für alle i = 1,\dots,n durch

\mu^n\left(]a,b[\right) = \prod_{j=1}^n(b_j - a_j)

und  \mu^n (\emptyset) := 0 definiert ist.

Der innere Inhalt einer beschränkten Menge A sei

 \underline{i^n}(A):= \sup\{\mu^n(M) : M \in \mathcal{J}^n, M \subset A\},

ihr äußerer Inhalt sei

\overline{i^n}(A):=\inf\{\mu^n(N): N \in \mathcal{J}^n, N \supset A\}.

Eine Menge A \subset \R^n heißt Jordan-messbar oder quadrierbar, wenn A beschränkt ist und \overline{i^n}(A) = \underline{i^n}(A) .

Das Jordan-Maß einer Jordan-messbaren Menge A ist durch i^n(A):=\overline{i^n}(A) = \underline{i^n}(A) gegeben.

Gilt \overline{i^n}(A)=0 für ein beschränktes A\subset \R^n, so ist A Jordan-messbar und wird Jordan-Nullmenge genannt.

Eigenschaften[Bearbeiten]

  1. Das Jordan-Maß ist ein Inhalt und nicht \sigma-additiv, d. h. abzählbare Vereinigungen von Jordan-messbaren Mengen müssen nicht notwendig Jordan-messbar sein. (Siehe auch Beispiel 2.) Daher ist das Jordan-Maß kein Maß im Sinne der Maßtheorie.
  2. Ist A \subset \R^n Jordan-messbar, so ist A auch Lebesgue-messbar, und es gilt \lambda^n(A) = i^n(A). Dabei bezeichnet \lambda^n(A) das Lebesgue-Maß von A.
  3. Eine Menge A \subset \R^n ist genau dann Jordan-messbar, wenn A beschränkt ist und der Rand von A eine Jordan-Nullmenge ist.
  4. Eine beschränkte Menge A \subset \R^n ist genau dann Jordan-messbar, wenn \lambda^n(A^\circ) = \lambda^n(\overline{A}) ist. Dann gilt auch i^n(A) = \lambda^n(A^\circ) = \lambda^n(\overline{A}).
  5. Eine kompakte Menge A \subset \R^n ist genau dann eine Lebesgue-Nullmenge, wenn A eine Jordan-Nullmenge ist.

Beispiele[Bearbeiten]

  1. Der Einheitskreis im \R^n ist Jordan-messbar, da er beschränkt und sein Rand eine Jordan-Nullmenge ist.
  2. Die Menge A=[0,1]\cap \Q ist nicht Jordan-messbar. Denn für jede Menge A \supset M \in \mathcal{J}^1 gilt M = \emptyset und für jede Menge A \subset N \in \mathcal{J}^1 gilt [0,1] \subset N, woraus 0 = \underline{i^1}(A) < \overline{i^1}(A) = 1 folgt. Für jedes q\in A gilt \lambda^1(\{q\})=i^1(\{q\})=0. Aufgrund der \sigma-Additivität des Lebesgue-Maßes gilt \textstyle \lambda^1(A) = \sum_{q\in A}\lambda^1(\{q\})=\sum_{q\in A}0=0. A ist also Lebesgue-Nullmenge. Das Jordan-Maß ist, wie dieses Beispiel zeigt, nicht \sigma-additiv.

Literatur[Bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten]