Lebesgue-Maß

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Das Lebesgue-Maß Zum Anhören bitte klicken! [ləˈbɛg]a a (nach Henri Léon Lebesgue) ist das Maß im euklidischen Raum, das geometrischen Objekten ihren Inhalt (Länge, Flächeninhalt, Volumen, …) zuordnet.

Hintergrund[Bearbeiten]

Das Lebesgue-Maß ist aus der Sicht der modernen Mathematik der natürliche Begriff für Flächeninhalt und Volumen. Dieses Konzept ist das Endprodukt einer ganzen Reihe von Ideen, die versuchten, Begriffe wie Flächeninhalt und Volumen mathematisch exakt zu fassen. Erst mit dem Lebesgue-Maß kann dieser Prozess als abgeschlossen gelten. Das Lebesgue-Maß ordnet nicht nur einfachen geometrischen Objekten, sondern auch viel allgemeineren Mengen einschließlich aller offenen und abgeschlossenen Mengen einen Inhalt zu. Die Existenz einer nicht Lebesgue-messbaren Menge (etwa der Vitali-Mengen) lässt sich nicht-konstruktiv unter Verwendung des Auswahlaxioms beweisen. Es existieren verschiedene Sätze, dass eine solche Nicht-Konstruktivität in einem bestimmten Sinn notwendig ist, und dies unter bestimmten Annahmen sogar auf eine stärkere Weise als bei vielen anderen grundlegenden Sätzen der Analysis.

Definition[Bearbeiten]

Das Lebesgue-Borel-Maß auf der Borel-σ-Algebra \mathcal B(\R^n) (auch als Borel-Lebesgue-Maß oder nur Borel-Maß bezeichnet) ist das eindeutige Maß \lambda mit der Eigenschaft

\lambda([a_1, b_1]\times\dotsb\times[a_n, b_n]) = (b_1-a_1)\dotsm(b_n-a_n),

d. h. das Maß, das Intervallen ihre Länge zuordnet (im Eindimensionalen), Rechtecken ihren Flächeninhalt zuordnet (im Zweidimensionalen), Quadern ihr Volumen zuordnet (im Dreidimensionalen), usw. für n-dimensionale Hyperquader. Durch diese Bedingung wird der Inhalt \lambda(B) beliebiger Borel-Mengen eindeutig festgelegt. Die Borel-Mengen werden auch Borel-messbar oder B-messbar genannt. Das Borel-Maß ist bewegungsinvariant und normiert, aber nicht vollständig. Die Existenz des Lebesgue-Borel-Maßes wurde im Eindimensionalen zum ersten Mal von Émile Borel 1895 bewiesen, eine modernere Konstruktion über den Maßerweiterungssatz geht auf Constantin Carathéodory (1918) zurück.[1]

Das Lebesgue-Maß ist das vollständige Maß \lambda, das man aus diesem Maß erhält, wenn man zu \mathcal B(\R^n) alle Mengen A hinzufügt, die zwischen zwei Borel-Mengen liegen (B_1 \subset A \subset B_2), welche denselben Inhalt haben, genauer \lambda(B_2 \setminus B_1) = 0, und so \lambda(A) festlegen. Die Mengen, für die das Lebesgue-Maß auf diese Weise definiert ist, heißen Lebesgue-messbar (oder L-messbar) und bilden die Lebesgue-\sigma-Algebra.

B-messbar und L-messbar[Bearbeiten]

Es lässt sich zeigen, dass die Menge der L-messbaren Mengen \mathcal L(\R^n) wesentlich größer als die Menge der B-messbaren Mengen ist:[2][3]

2^{\operatorname{card}(\mathbb{R}^n)}=
\operatorname{card}(\operatorname{Pot}(\R^n))=
\operatorname{card}(\mathcal L(\R^n))
>\operatorname{card}(\mathcal B(\R^n))
=\operatorname{card}(\R^n)\,,

wobei \operatorname{card} für Kardinalität und \operatorname{Pot} für die Potenzmenge einer Menge steht.

Nullmengen[Bearbeiten]

Mengen, deren Lebesgue-Maß gleich 0 ist, werden Lebesgue-Nullmengen genannt. Abzählbare Punktmengen wie z. B. die Menge der rationalen Zahlen sind immer Lebesgue-Nullmengen. Ein Beispiel für eine überabzählbare Lebesgue-Nullmenge ist das Cantorsche Diskontinuum.[4] Gilt eine mathematische Aussage für ein Gebiet mit Ausnahme einer Lebesgue-Nullmenge innerhalb des Gebietes, so sagt man: Die Aussage gilt Lebesgue-fast-überall.

Eigenschaften[Bearbeiten]

Da das Lebesgue-Maß translationsinvariant ist, ist das Lebesgue-Maß von A und A+t das gleiche.

Das Lebesgue-Maß ist das Haar-Maß auf der lokalkompakten topologischen Gruppe \R^n mit der Addition, die Existenz folgt daher bereits aus der Existenz des Haarmaßes. Insbesondere ist es translationsinvariant, das bedeutet, dass sich das Maß einer Menge unter Translation nicht ändert. Zudem ist es invariant unter Spiegelungen und Drehungen, also sogar bewegungsinvariant. Das Lebesgue-Maß ist \sigma-endlich.

Konstruktion des Lebesgue-Maßes[Bearbeiten]

Eine mögliche Definition des Lebesgue-Maßes ist die Konstruktion von Carathéodory. Sei \mathcal{D} die Menge der dyadischen Elementarzellen und \operatorname{vol}(A_i) das Volumen von A_i, da diese Mengen nur aus Produkten von Intervallen bestehen, definiert man das Volumen einfach als Produkt der einzelnen Seitenlängen. \mathcal{D} ist ein Halbring und \operatorname{vol} ein \sigma-endliches Prämaß. Nach dem Maßerweiterungssatz von Carathéodory lässt es sich eindeutig zu einem Maß auf der erzeugten \sigma-Algebra, das sind gerade die Borel-Mengen, fortsetzen und erhält so das Lebesgue-Borel-Maß.

Konkret lässt sich der Beweis wie folgt führen (der Beweis des allgemeinen Maßerweiterungssatzes geht in den wesentlichen Punkten analog): Für eine gegebene Menge A definiert man

 \lambda^*(A) := \inf \left\{\sum_{i \geq 1} \operatorname{vol}(A_i): A \subseteq \bigcup_{i \geq 1} A_i,\ A_i \in \mathcal{D}\right\} .

\lambda^* ist ein metrisches äußeres Maß und auf der gesamten Potenzmenge \mathcal{P}(X) der zugrunde liegenden Menge X definiert. \lambda^* ist in der Regel kein Maß. Um zu einem Maß zu kommen, muss man wie folgt von der Potenzmenge zu einem kleineren Mengensystem übergehen.

Eine Menge A \in \mathcal{P}(X) ist \lambda^*-messbar wenn \forall B \in \mathcal{P}(X) gilt:

 \lambda^*(B) = \lambda^*(A\cap B) + \lambda^*(B \setminus A)

(siehe Messbarkeit nach Carathéodory).

Alle bezüglich \lambda^* messbaren Mengen aus \mathcal{P}(X) bilden eine σ-Algebra \mathcal{A} und \lambda^* darauf ein Maß, d.h.,  \lambda := \lambda^*\vert_\mathcal{A} ist ein Maß.

Siehe auch[Bearbeiten]

Quellen und weiterführende Informationen[Bearbeiten]

  1. Olav Kallenberg: Foundations of Modern Probability. 2nd edition. Springer, New York NY u. a. 2002, ISBN 0-387-95313-2, S. 570.
  2. Michael Leinert: Integration und Maß. Vieweg, Braunschweig u. a. 1995, ISBN 3-528-06385-8, 4.20.
  3. Beispiele für nicht B-messbare L-messbare Mengen sind zum ersten Mal von Suslin gegeben worden. Er hat dabei das System der sogenannten analytischen Mengen entwickelt, das eine echte Erweiterung des Systems der Borelschen Mengen ist und komplett im System der L-messbaren Mengen liegt.
  4. Das cantorsche Diskontinuum ist auch eine borelsche Nullmenge. Da das Lebesgue-Maß vollständig ist, sind alle Untermengen des cantorschen Diskontinuums L-messbar. Daraus folgt die erste von den oben erwähnten Ungleichungen – nämlich, dass das System der L-messbaren Mengen echt mächtiger als das Kontinuum ist.