Kartesisches Blatt

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Kartesisches Blatt für a=1

Das kartesische Blatt (oder cartesische Blatt, folium cartesii) ist eine ebene algebraische Kurve 3. Ordnung, die nach dem französischen Mathematiker und Philosophen René Descartes benannt ist.

Definition[Bearbeiten]

Sei a \in \R eine reelle Zahl, dann ist das kartesische Blatt in kartesischen Koordinaten definiert durch die Gleichung

x^3 + y^3 - 3 a x y =  0\,.

Andere Gleichungen des kartesischen Blattes[Bearbeiten]

In Parameterdarstellung kann das kartesische Blatt durch die Gleichungen

\begin{align}
x = \frac{3 a t}{1 + t^3}\\ 
y = \frac{3 a t^2}{1 + t^3}
\end{align}

beschreiben werden, wobei a \in \R ist.

In Polarkoordinaten wird das kartesische Blatt durch die Gleichung

r = \frac{3 a \cos\varphi \sin\varphi}{(\cos\varphi)^3 + (\sin\varphi)^3}

beschrieben.

Eigenschaften des kartesischen Blattes[Bearbeiten]

Im Folgenden wird jeweils vorausgesetzt, dass die Koordinatenachsen so liegen wie in der Skizze.

  • Der Ursprung des Koordinatensystems ist Doppelpunkt der Kurve. Die x- bzw. die y-Achse sind die jeweiligen Tangenten im Ursprung.
  • Die Gerade mit der Gleichung x + y + a = 0 (in der Skizze blau gestrichelt) ist Asymptote der Kurve.
  • Die Fläche, die von der Kurve und der Asymptote begrenzt wird und sich ins Unendliche erstreckt, hat denselben Flächeninhalt \tfrac{3}{2} a^2.

Weblinks[Bearbeiten]