Kolmogorowsches Null-Eins-Gesetz

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Das Kolmogorowsches Null-Eins-Gesetz, benannt nach dem russischen Mathematiker Andrei Nikolajewitsch Kolmogorow, ist ein Satz aus dem Gebiet der Wahrscheinlichkeitstheorie. Wie alle Null-Eins-Gesetze beschreibt er eine Klasse von Ereignissen, deren Wahrscheinlichkeiten stets 0 oder 1 sind.

Formulierung[Bearbeiten]

Sei (\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P}) ein Wahrscheinlichkeitsraum, und \mathcal{A}_n\subseteq\mathcal{A}, n\in \N, eine Folge unabhängiger σ-Algebren. Bezeichnet \mathcal{T} die zugehörige terminale σ-Algebra, so ist diese \mathbb{P}-trivial, d.h. \mathbb{P}(A)\in\{0,1\} für alle A\in\mathcal{T}.

Beweis[Bearbeiten]

Es genügt zu zeigen, dass A \in \mathcal{T} unabhängig von sich selbst ist, denn dann gilt \mathbb{P}(A) = \mathbb{P}(A \cap A) = (\mathbb{P}(A))^2, also \mathbb{P}(A) \in \{0,1\}. Nach dem Prinzip der guten Mengen sei dazu \mathcal{D}_A=\{D\in\mathcal{A}\mid\mathbb{P}(A\cap D)=\mathbb{P}(A)\mathbb{P}(D)\} die Menge aller von A unabhängigen Ereignisse. Dann ist \mathcal{D}_A ein Dynkin-System. Da A nach Definition \sigma(\mathcal{A}_{n+1},\mathcal{A}_{n+2},\ldots)-messbar ist, beinhaltet \mathcal{D}_A die \cap-stabilen Systeme \sigma(\mathcal{A}_{1},\ldots,\mathcal{A}_n), ist also sogar eine \sigma-Algebra. Aus der \sigma-Additivität folgt, dass \textstyle \sigma(\bigcup_{n\in\N}\mathcal{A}_n)\subseteq\mathcal{D}_A. Da \textstyle A\in\sigma(\bigcup_{n\in\N}\mathcal{A}_n) gilt, folgt A \in \mathcal{D}_A.

Anwendung[Bearbeiten]

Seien X_1,X_2,\ldots unabhängige Zufallsvariablen, und \mathcal{T} die zu \sigma(X_1),\sigma(X_2),\ldots gehörige terminale \sigma-Algebra. Man zeigt leicht, dass \{\omega\mid X_n(\omega)\;\mbox{konvergiert für}\; n \to \infty\}\in\mathcal{T}. Die Folge (X_n)_{n\in\N} konvergiert oder divergiert also fast sicher. Bezeichnet im ersten Fall X den Limes, so lässt sich weiter zeigen, dass X eine \sigma(\mathcal{T})-messbare Zufallsvariable ist. Da \sigma(\mathcal{T}) trivial ist, muss X notwendig konstant sein.

Literatur[Bearbeiten]