Komplexes Maß

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Ein komplexes Maß ist eine Art Verallgemeinerung des Maßes aus dem mathematischen Teilgebiet der Maßtheorie. Es ist wie das Maß eine Funktion, die von einem Mengensystem, meist einer σ-Algebra, abbildet. Das komplexe Maß lässt jedoch als Wertebereich die komplexen Zahlen zu.

Definition[Bearbeiten]

Sei \Omega eine nichtleere Menge und \mathcal{C} \subseteq 2^\Omega eine Teilmenge der Potenzmenge von \Omega mit \emptyset \in \mathcal{C}.

Eine Mengenfunktion \nu von \mathcal{C} in die komplexen Zahlen \mathbb{C} heißt komplexes Maß, wenn

\nu(\emptyset) = 0

und für jede disjunkte Familie (A_i)_{i \in \mathbb{N}} mit A_i \in \mathcal{C} und \textstyle \bigcup_{i \in \mathbb{N}}A_i \in \mathcal{C}

\nu\left(\bigcup_{i \in\mathbb{N}}A_i\right) = \sum_{i \in \mathbb{N}} \nu(A_i)

gilt, wobei die Reihe \textstyle \sum_{i \in \mathbb{N}} \nu(A_i) absolut konvergieren muss, das heißt \textstyle \sum_{i \in \mathbb{N}} |\nu(A_i)| < \infty . Letztere Eigenschaft wird auch als \sigma-Additivität bezeichnet.

In den meisten Anwendungen ist das Mengensystem \mathcal{C} eine σ-Algebra, dann ist \textstyle \bigcup_{i \in \mathbb{N}}A_i immer in \mathcal{C} enthalten.

Eigenschaften[Bearbeiten]

Jedes endliche (Prä)Maß ist ein komplexes Maß, wenn man den reellen Bildbereich des Maßes in die komplexen Zahlen einbettet.

Für ein komplexes Maß sind offensichtlich Real- und Imaginärteil signierte Maße. Da jedes signierte Maß als Differenz zweier positiver Maße geschrieben werden kann (Hahn-Jordan-Zerlegung), kann jedes komplexe Maß als Linearkombination von vier positiven Maßen geschrieben werden.

Siehe auch[Bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten]

  • Walter Rudin: Reelle und komplexe Analysis. Oldenbourg Wissenschaftsverlag, München 1999, ISBN 3-486-24789-1, Kap. 6.