Kontingenztafel

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Kontingenztafeln (auch: Kontingenztabellen oder Kreuztabellen) sind Tabellen, die die absoluten oder relativen Häufigkeiten (Häufigkeitstabellen) von Kombinationen bestimmter Merkmalsausprägungen enthalten. Kontingenz hat dabei die Bedeutung des gemeinsamen Auftretens von zwei Merkmalen. Das bedeutet, es werden Häufigkeiten für mehrere miteinander durch „und“ oder „sowie“ (Konjunktion) verknüpfte Merkmale dargestellt. Diese Häufigkeiten werden ergänzt durch deren Randsummen, die die sogenannten Randhäufigkeiten bilden. Der häufige Spezialfall einer Kontingenztabelle mit zwei Merkmalen ist eine Konfusionsmatrix.

Aufbau und Anwendung[Bearbeiten]

Im Gegensatz zu einer normalen ("flachen") Tabelle, die in der 1. Zeile Attributnamen und in allen weiteren Zeilen Ausprägungen dieser Attribute besitzt, enthalten in einer Kreuztabelle sowohl Zeilen- als auch Spaltenüberschriften Merkmalsausprägungen und am Schnittpunkt der entsprechenden Spalte und Zeile wird ein Wert dargestellt, der von den in der jeweiligen Spalte und Zeile angegebenen Merkmalen abhängt.

Y\X x_1 x_2 \ldots x_J Randhäufigkeit
von Y
y_1 h_{11} h_{12} \ldots h_{1J} h_{1\bullet}
y_2 h_{21} h_{22} \ldots h_{2J} h_{2\bullet}
\vdots \vdots \vdots \ddots \vdots \vdots
y_K h_{K1} h_{K2} \ldots h_{KJ} h_{K\bullet}
Randhäufigkeit
von X
h_{\bullet 1} h_{\bullet 2} \ldots h_{\bullet J} h_{\bullet\bullet}

Eine allgemeine Kreuztabelle für zwei Variablen X und Y ist rechts dargestellt. Die Merkmalsausprägungen x_1, ..., x_J der Variablen X und y_1, ..., y_K der Variablen Y sind oben und links angegeben. Die Anzahl der Ausprägungen J und K kann für beide Variablen unterschiedlich sein. Ist sie gleich spricht man von quadratischen Kreuztabellen.

In der Tabelle findet man die absoluten Häufigkeiten h_{jk}, d.h. die Anzahl der Beobachtungen in denen sowohl die Merkmalsausprägung x_j und y_k auftritt. Rechts sind die Randhäufigkeiten h_{j\bullet} = h_{j1}+\ldots+h_{jK} bzw. unten die Randhäufigkeiten h_{\bullet k} = h_{1k}+\ldots+h_{Jk} abgetragen.

Rechts unten findet sich schließlich die Summe der Randhäufigkeiten

h_{\bullet\bullet}=h_{1\bullet}+\ldots+h_{K\bullet}=h_{\bullet 1}+\ldots+h_{\bullet J}=n

mit n die Zahl der Beobachtungen im Datensatz.

Anstelle von absoluten Häufigkeiten können auch relativen Häufigkeiten dargestellt werden. In diesem Fall wird statt h oft f benutzt und es gilt natürlich f_{\bullet\bullet}=1.

Vierfeldertafel[Bearbeiten]

Eine Vierfeldertafel ist eine Spezialform einer zweidimensionalen Kontingenztafel. Beide Variablen haben nur zwei Merkmalsausprägungen und sie ist wie folgt aufgebaut:

Merkmal \!\, A  \bar{A} Summe
\!\, B  h({A}\cap{B})  h({\bar{A}}\cap{B}) \!\, h(B)
 \bar{B}  h({A}\cap{\bar{B}})  h({\bar{A}}\cap{\bar{B}})  h({\bar{B}})
Summe \!\, h(A)  h({\bar{A}}) \!\, n

Beispiel für eine zweidimensionale Kontingenztafel[Bearbeiten]

Es werden 2000 Personen darüber befragt, ob sie Produkt A oder B bevorzugen. Das Ergebnis wird nach Geschlecht des Befragten ausgewertet. Es ergibt sich folgende Vierfeldertafel

  • mit absoluten Häufigkeiten
Produkt \ Geschlecht weiblich männlich Summe
Produkt A 660 440 1100
Produkt B 340 560 900
Summe 1000 1000 2000
  • mit relativen Häufigkeiten bezogen auf die Fallzahl
Produkt \ Geschlecht weiblich männlich Summe
Produkt A 0,33 0,22 0,55
Produkt B 0,17 0,28 0,45
Summe 0,5 0,5 1
  • mit relativen Häufigkeiten bezogen auf die Spalten
Produkt \ Geschlecht weiblich männlich Summe
Produkt A 0,66 0,44 0,55
Produkt B 0,34 0,56 0,45
Summe 1 1 1


  • mit relativen Häufigkeiten bezogen auf die Zeilen
Produkt \ Geschlecht weiblich männlich Summe
Produkt A 0,6 0,4 1
Produkt B 0,38 0,62 1
Summe 0,5 0,5 1

Der Schein kann trügen[Bearbeiten]

Auf den ersten Blick ist zu ersehen, dass die weiblichen Kunden dem Produkt A, die männlichen Kunden dagegen dem Produkt B zuneigen. Dies kann eine interessante Information sein – es kann aber auch nur ein Trugschluss sein. Die Auswertung der Befragung hinsichtlich des Alters der Kunden ergibt:

Produkt \ Alter bis 40 Jahre über 40 Jahre Summe
Produkt A 700 300 1000
Produkt B 300 700 1000
Summe 1000 1000 2000

Das Kaufverhalten hängt also nicht nur vom Geschlecht, sondern auch vom Alter der Befragten ab. Das Bedürfnis, beide Informationen über Abhängigkeiten in einen realistischen Bezug zueinander zu bringen, erzwingt die Erarbeitung einer dreidimensionalen Kontingenztafel.

Um aus den Zusammenhängen in den untersuchten Stichproben auf Eigenschaften der zugrundeliegenden Grundgesamtheiten schließen zu können, können (unter gewissen Bedingungen) Chi-Quadrat-Tests verwendet werden. Der Exakte Fisher-Test ist ein statistischer Test auf Unabhängigkeit in der Kontingenztafel auch für kleine Stichproben.

Kategorien, die in Kontingenztafeln verwendet werden sollen[Bearbeiten]

Insbesondere durch die statistischen Verfahren, die auf Kontingenztabellen aufbauen, werden Anforderungen an die Kategorien (eine einzelne Merkmalsausprägung oder eine Zusammenfassung von verschiedenen Merkmalsausprägungen) gestellt:

  • Streng genommen müssen alle Kategorien voneinander völlig unabhängig sein. Zum Beispiel kann eine Person nicht gleichzeitig "weiblich" und "männlich" sein (außer in seltenen Fällen von Intersexualität, die hier vernachlässigt werden); aber bei "hat Grundschule besucht" und "hat Berufslehre abgeschlossen" kann man die Mitglieder der letzteren Gruppe eigentlich auch in die erste einfügen – da der Besuch der Grundschule für jeden Menschen obligatorisch ist. Das Problem ist, dass die Randhäufigkeiten sich dann nicht zu n oder 1 addieren.
  • Des Weiteren sollte es in der Kontingenztabelle keine Zeile oder Spalten geben, in denen sich die Häufigkeiten zu Null addieren. Zum Beispiel darf eine solche Tafel nicht die Kategorien "männlich" und "weiblich" besitzen, wenn man eine ausschließlich männliche oder ausschließlich weibliche Grundgesamtheit untersucht. Das Problem ist, dass in der statischen Auswertung der Kehrwert dieser Summe auftritt und 1/0=\infty ist.
  • Zusätzlich sollte man so selten wie möglich eine Kategorie "Sonstige" einsetzen; beispielsweise wie in "fährt Opel", "fährt Peugeot", "fährt Toyota", "fährt anderen Personenwagen". Dieser "Sammeltopf" sollte, falls er doch notwendig wird, durch eine durchdachte Konzipierung so klein wie möglich gehalten werden.

Dreidimensionale Kontingenztafel[Bearbeiten]

Für eine dreidimensionale Tafel (drei Merkmale) fügt man zusätzliche Spalten in die Tabelle ein:

Geschlecht weiblich Geschlecht männlich
Produkt \ Alter bis 40 Jahre über 40 Jahre bis 40 Jahre über 40 Jahre Summe
Produkt A 630 ( 70%) 30 ( 30%) 70 ( 70%) 270 ( 30%) 1000
Produkt B 270 ( 30%) 70 ( 70%) 30 ( 30%) 630 ( 70%) 1000
Summe 900 (100%) 100 (100%) 100 (100%) 900 (100%) 2000

Die in Klammern zugesetzten Prozentwerte sollen nur den Blick darauf lenken, dass die Produktneigung keinesfalls vom Geschlecht abhängig war. Sondern dem Produkt A sind gleichermaßen 70% der jüngeren Frauen wie auch der Männer und 30% der älteren Frauen wie auch der Männer zugeneigt; bei Produkt B genau umgekehrt.

Um dieses Phänomen geistig klarer zu machen, lohnt sich wieder eine (diesmal wieder zweidimensionale) Kontingenztafel:

Geschlecht \ Alter bis 40 Jahre über 40 Jahre Summe
Weiblich 900 100 1000
Männlich 100 900 1000
Summe 1000 1000 2000

Hier wird deutlich, dass unter den jüngeren Befragten nunmal eine übergroße Mehrheit von 90% weiblich war. Und die jüngeren Kunden bevorzugen das Produkt A – nicht etwa die weiblichen! Dagegen bevorzugen die Älteren (in der Befragung vornehmlich Männer) das Produkt B. Es handelt sich bei der Geschlechterrelation aus dem Beispiel um ein rein scheinbares Verhältnis, das aufgrund der unausgewogenen statistischen Menge entstehen konnte.

Graphische Darstellung[Bearbeiten]

Zur graphischen Darstellung zweidimensionaler Kontigenztabellen bieten sich 3D-Balkendiagramme an. Ein Nachteil solcher Diagramme ist jedoch, dass je nach Blickwinkel Balken verdeckt werden können. Zudem führt die 3D-Darstellung eine Perspektive ein, die es dem Betrachter schwierig machen kann, die Höhe der Balken miteinander zu vergleichen, um zu erkennen, in welcher Zelle nun mehr Beobachtungen sind.[1]

Eine weitere Möglichkeit, die sich insbesondere bei Kontingenztafeln mit relativ wenigen Zellen anbietet, ist ein gestapeltes Säulendiagramm, das sich auf die relativen Spaltenhäufigkeiten bezieht.

Besser ist es, einen Mosaikplot zu verwenden, in dem die Flächen den Häufigkeiten für jede Kombination von Merkmalsausprägungen entsprechen. Zudem kann leicht die Unabhängigkeit von zwei oder mehr Variablen angezeigt werden.

Statistische Auswertung[Bearbeiten]

Bei komplexer werdenden Kontingenztafeln lassen sich Relationen nicht mehr einfach mit dem Auge ablesen. Die Statistik setzt zur systematischen Analyse eine Reihe von Verfahren ein:

Siehe auch[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1.  Heiner Abels: Handbuch des statistischen Schaubilds: Konstruktion, Interpretation und Manipulation von graphischen Darstellungen (German Edition). Verlag Neue Wirtschafts-Briefe, 1981, ISBN 978-3482565816.

Weblinks[Bearbeiten]