Kugelkondensator

Unter einem Kugelkondensator versteht man einen elektrischen Kondensator welcher aus zwei konzentrischen, gegeneinander isolierten, metallischen Kugeloberflächen besteht.

Kugelkondensator mit den Radien R₁ und R₂

Für die Kapazität eines Kugelkondensators mit den Radien R₁ und R₂ gilt:

$C=4\pi \varepsilon {\frac {R_{2}R_{1}}{R_{2}-R_{1}}}$, mit $\varepsilon =\varepsilon _{0}\varepsilon _{r}$

ε₀ ist hierbei die elektrische Feldkonstante. ε_r ist die Dielektrizitätszahl welche im Vakuum gleich 1 ist.

Herleitung der Kapazität

Für eine infinitesimal kleine Kugelschale zwischen R₁ und R₂ gilt für das infinitesimal kleine Reziproke der Kapazität der bekannte Zusammenhang des Plattenkondensators:

$\mathrm {d} {\frac {1}{C}}={\frac {1}{\varepsilon }}\cdot {\frac {\mathrm {d} r}{A(r)}}={\frac {1}{\varepsilon }}\cdot {\frac {\mathrm {d} r}{4\pi r^{2}}}$

wobei A(r) die Oberfläche einer Kugel ist. Integriert man nun, so ergibt sich:

${\frac {1}{C}}=\int \limits _{R_{1}}^{R_{2}}{\frac {1}{\varepsilon }}\cdot {\frac {\mathrm {d} r}{4\pi r^{2}}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon }}\cdot \left({\frac {1}{R_{1}}}-{\frac {1}{R_{2}}}\right)$

Umgestellt nach der Kapazität C ergibt dies oben genannte Formel.

Alternativ lässt sich auch die Definition $C={\frac {Q}{U}}$ nutzen, wenn man die Formel im Abschnitt Spannung zwischen innerer und äußerer Platte verwendet.

Näherungen

• Wenn $d=R_{2}-R_{1}\ll R_{1}$ ist, kann man angenähert $R_{1}=R_{2}=R$ setzen und erhält: $C=4\pi \varepsilon {\frac {R^{2}}{d}}$.

• Wenn $R_{1}\ll R_{2}$ ist, kann man angenähert $R_{2}-R_{1}=R_{2}$ setzen und erhält: $C=4\pi \varepsilon R_{1}$,

die Kapazität wird vom Radius der Innenkugel bestimmt.

Diese Näherung beschreibt auch die Kapazität einer freistehenden Kugel, da hier die Gegenelektrode sehr weit entfernt ist ($R_{2}\to \infty$ und somit $R_{1}\ll R_{2}$).

Ladungsdichte

Die Ladungsdichte lässt sich schreiben als $\varrho (r)={\frac {Q}{4\pi R_{1}^{2}}}\,\delta (r-R_{1})-{\frac {Q}{4\pi R_{2}^{2}}}\,\delta (r-R_{2})$ , wobei $\delta$ die Dirac'sche Delta-Distribution ist.

Elektrisches Feld

Das elektrische Feld zwischen den zwei Kondensatorschalen lässt sich mit der folgenden Formel berechnen:

$E(r)={\frac {Q}{4\pi r^{2}\varepsilon _{0}\varepsilon _{r}}}$ wobei $R_{1}<r<R_{2}$

Das Feld ist nicht homogen, sondern abhängig vom Abstand $r$ zum Mittelpunkt des Kondensators. Außerhalb eines geerdeten Kondensators ist das Feld = 0.

Elektrisches Potential

Das elektrische Potential berechnet sich als $\varphi (r)=-\int _{\infty }^{r}E(r')\,dr'$, das abschnittsweise definiert ist.

• Für $r\geq R_{2}$ ist $\varphi (r)=0$.
• Für $R_{1}<r<R_{2}$ ist $\varphi (r)=-\int _{R_{2}}^{r}E(r')dr'={\frac {Q}{4\pi \varepsilon _{0}\varepsilon _{r}}}\,\left({\frac {1}{r}}-{\frac {1}{R_{2}}}\right)$.
• Für $r\leq R_{1}$ ist $\varphi (r)={\frac {Q}{4\pi \varepsilon _{0}\varepsilon _{r}}}\,\left({\frac {1}{R_{1}}}-{\frac {1}{R_{2}}}\right)$.

Spannung zwischen innerer und äußerer Platte

Die Spannung zwischen der inneren und äußeren Kugel berechnet sich wie folgt:

$U=\varphi (R_{1})-\underbrace {\varphi (R_{2})} _{=0}=\int _{R_{1}}^{R_{2}}E(r)\,\mathrm {d} r\,={\frac {Q}{4\pi \varepsilon _{0}\varepsilon _{r}}}\left({\frac {1}{R_{1}}}-{\frac {1}{R_{2}}}\right)$