Kugelkondensator

Unter einem Kugelkondensator versteht man einen elektrischen Kondensator welcher aus zwei konzentrischen, gegeneinander isolierten, metallischen Kugeloberflächen besteht.

Kugelkondensator mit den Radien R₁ und R₂

Für die Kapazität eines Kugelkondensators mit den Radien R₁ und R₂ gilt:

$C=4 \pi \varepsilon \frac{R_2 R_1}{R_2 - R_1}$ , mit $\varepsilon= \varepsilon_0\varepsilon_r$

ε₀ ist hierbei die elektrische Feldkonstante. ε_r ist die Dielektrizitätszahl welche im Vakuum gleich 1 ist.

Herleitung der Kapazität

Für eine infinitesimal kleine Kugelschale zwischen R₁ und R₂ gilt für die infinitesimal kleine Kapazität der bekannte Zusammenhang des Plattenkondensators:

$\mathrm d\frac{1}{C} = \frac{1}{\varepsilon}\cdot\frac{\mathrm d r}{A(r)} = \frac{1}{\varepsilon}\cdot\frac{\mathrm d r}{4\pi r^2}$

wobei A(r) die Oberfläche einer Kugel ist. Integriert man nun, so ergibt sich:

$\frac{1}{C} = \int\limits_{R_1}^{R_2} \frac{1}{\varepsilon}\cdot\frac{\mathrm d r}{4\pi r^2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon}\cdot\left ( \frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2} \right )$

Umgestellt nach der Kapazität C ergibt dies oben genannte Formel.

Alternativ lässt sich auch die Definition $C = \frac{Q}{U}$ nutzen, wenn man die Formel im Abschnitt Spannung zwischen innerer und äußerer Platte verwendet.

Näherungen

• Wenn $d=R_2 - R_1 \ll R_1$ ist, kann man angenähert R₁ = R₂ = R setzen und erhält: $C=4 \pi \varepsilon \frac{R^2}{d}$.

• Wenn $R_1 \ll R_2$ ist, kann man angenähert R₂ − R₁ = R₂ setzen und erhält: $C=4 \pi \varepsilon R_1$,

die Kapazität wird vom Radius der Innenkugel bestimmt.

Diese Näherung beschreibt auch die Kapazität einer freistehenden Kugel, da hier die Gegenelektrode sehr weit entfernt ist ($R_2 \to \infty$ und somit $R_1 \ll R_2$).

Ladungsdichte

Die Ladungsdichte lässt sich schreiben als $\varrho(r) =\frac{Q}{4\pi R_1^2} \, \delta(r-R_1)-\frac{Q}{4\pi R_2^2} \, \delta(r-R_2)$ , wobei δ die Dirac'sche Delta-Distribution ist.

Elektrisches Feld

Das elektrische Feld zwischen den zwei Kondensatorschalen lässt sich mit der folgenden Formel berechnen:

$E(r)=\frac{Q}{4\pi r^2 \varepsilon_0 \varepsilon_r}$ wobei R₁ < r < R₂

Das Feld ist nicht homogen, sondern abhängig vom Abstand r zum Mittelpunkt des Kondensators. Außerhalb des Kondensators ist das Feld = 0.

Elektrisches Potential

Das elektrische Potential berechnet sich als $\varphi(r)=-\int_\infty^r E(r')\, dr'$, das abschnittsweise definiert ist.

• Für $r\ge R_2$ ist φ(r) = 0.
• Für R₁ < r < R₂ ist $\varphi(r)=-\int_{R_2}^r E(r') dr'=\frac{Q}{4\pi \varepsilon_0 \varepsilon_r} \, \left(\frac1{r}-\frac1{R_2}\right)$.
• Für $r\le R_1$ ist $\varphi(r)=\frac{Q}{4\pi \varepsilon_0 \varepsilon_r} \, \left(\frac1{R_1}-\frac1{R_2}\right)$.

Spannung zwischen innerer und äußerer Platte

Die Spannung zwischen der inneren und äußeren Kugel berechnet sich wie folgt:

$U=\varphi(R_1)-\underbrace{\varphi(R_2)}_{=0}=\int_{R_1}^{R_2} E(r) \,\mathrm dr\,=\frac{Q}{4\pi \varepsilon_0\varepsilon_r}\left(\frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2}\right)$