Ladungsdichte

Physikalische Größe Name Raumladungsdichte Größenart Ladungsdichte Formelzeichen der Größe ρ Größen- und Einheiten- system Einheit Dimension SI A·s·m-3 I·T·L-3

Physikalische Größe Name Flächenladungsdichte Größenart Ladungsdichte Formelzeichen der Größe σ Größen- und Einheiten- system Einheit Dimension SI A·s·m-2 I·T·L-2

Physikalische Größe Name Linienladungsdichte Größenart Ladungsdichte Formelzeichen der Größe λ Größen- und Einheiten- system Einheit Dimension SI A·s·m-1 I·T·L-1

Die elektrische Ladungsdichte ist eine physikalische Größe aus der Elektrodynamik, die eine Ladungsverteilung beschreibt. Da es sowohl positive als auch negative Ladungen gibt, sind für die Ladungsdichte ebenfalls sowohl positive wie negative Werte möglich.

Die Oberflächenladungsdichte σ (Sigma) auf der rechten Hälfte der Metallkugel ist negativ, weil die Elektronen aufgrund der Abstoßung durch die links eingezeichnete negative Ladung dorthin ausweichen, während sie auf der linken Halbkugel positiv ist, da dort nun Elektronen fehlen.

Da Ladungen auch an Oberflächen oder etwa entlang eines dünnen Drahtes verteilt sein können, kann die Ladungsdichte als solche sowohl die Ladung pro Volumen, pro Fläche oder bezogen auf eine Länge beschreiben. Die Ladung pro Volumen wird dabei als Raumladungsdichte ρ (Rho), die Ladung pro Fläche als Oberflächenladungsdichte σ (Sigma) und die Ladung pro Strecke als Linienladungsdichte λ (Lambda) bezeichnet.

Eine mit der Oberflächenladungsdichte σ korrespondierende Größe ist die elektrische Flussdichte $\vec D$, auch elektrische Erregung, dielektrische Verschiebung oder Verschiebungsdichte genannt – während die Flussdichte ein senkrecht auf der betreffenden Fläche stehender Vektor ist, ist σ ein Skalar (und unter bestimmten Umständen gleich dem Betrag $|\vec D|$).

Nicht mit der Ladungsdichte zu verwechseln sind außerdem die Ladungsträgerdichte, also Anzahl der Protonen, Elektronen usw. pro Raum-, Flächen- oder Längeneinheit, sowie die in der Dichtefunktionaltheorie berechnete Elektronendichte.

Die erreichbare Oberflächenladungsdichte wird durch Koronaentladung in die umgebende Luft begrenzt, wenn die maximale Feldstärke von 10⁵ V/m überschritten wird.

$\sigma_\mathrm{max} = 2\cdot E_\mathrm{max} \cdot \varepsilon_0 \cdot \varepsilon_r \approx 1,8 \cdot 10^{-6} \mathrm{As/m^2}$

Damit trägt jeder negativ geladene Quadratzentimeter die Überschussladung 1,8·10^-10 As, was wiederum 1,1·10⁹ frei beweglichen Elektronen entspricht. Etwa eine Million mal mehr Elektronen sind an die Atomrümpfe der Metalloberfläche gebunden (Siehe auch Influenz#Anzahl der beteiligten Elektronen).

Definition

Die Definition der Raumladungsdichte ähnelt der der Massendichte:

$\rho(\vec r) = \frac{\mathrm d Q}{\mathrm d V}$,

wobei Q die elektrische Ladung und V das Volumen ist. Bei der Flächenladungsdichte und der Linienladungsdichte wird entsprechend nach Fläche A bzw. Länge l abgeleitet:

$\sigma(\vec r) = \frac{\mathrm d Q}{\mathrm d A}$,

$\lambda(\vec r) = \frac{\mathrm d Q}{\mathrm d l}$,

Umgekehrt ergibt sich damit die Gesamtladung zu

$Q = \int_V \rho(\vec r)\, \mathrm d V$

$Q = \int_A \sigma(\vec r)\, \mathrm d A$

$Q = \int_l \lambda(\vec r)\, \mathrm d l$

Diskrete Ladungsverteilung

Besteht die Ladung in einem Volumen aus N diskreten Ladungsträgern (wie z. B. Elektronen), so kann die Ladungsdichte mit Hilfe der Delta-Distribution ausgedrückt werden:

$\rho(\vec r)=\sum_{i=1}^N q_i\cdot \delta(\vec r - \vec r_i)$

Dabei ist q_i die Ladung und $\vec r_i$ der Ort des i-ten Ladungsträgers. Tragen alle Ladungsträger die gleiche Ladung q (bei Elektronen q = − e), so kann man obige Formel mit Hilfe der Ladungsträgerdichte $n(\vec r)$ vereinfachen:

$\rho(\vec r)=q\cdot\sum_{i=1}^N \delta(\vec r - \vec r_i)=q\cdot n(\vec r)$

Elektrisches Potential

Das elektrische Potential hängt gemäß der Poisson-Gleichung der Elektrostatik

$\Delta \Phi(\vec r) = -\frac{\rho(\vec r)}{\varepsilon}$

nur von der Ladungsdichte ab. Hierbei bezeichnet ε die Permittivität.