Elektrische Kapazität

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Dieser Artikel behandelt die physikalische Größe aus der Elektrostatik. Für die Kapazität einer Batterie siehe Kapazität (galvanische Zelle).
Physikalische Größe
Name Elektrische Kapazität
Formelzeichen der Größe C
Größen- und
Einheitensystem
Einheit Dimension
SI F M−1·L−2·T4·I2
CGS cm L

Die elektrische Kapazität (Formelzeichen C, von lateinisch capacitas = Fassungsvermögen; Adjektiv kapazitiv) ist eine physikalische Größe aus dem Bereich der Elektrostatik, Elektronik und Elektrotechnik.

Die elektrische Kapazität zwischen zwei voneinander isolierten elektrisch leitenden Körpern ist gleich dem Verhältnis der Ladungsmenge Q die auf diesen Leitern gespeichert ist (+Q auf dem einen und -Q auf dem anderen) und der zwischen ihnen herrschenden elektrischen Spannung U:

C = \frac Q U

C wird dabei ausschließlich durch die Geometrie der Körper, dazu zählt auch der Abstand, sowie die Dielektrizitätskonstante des isolierenden Mediums festgelegt.

Bei Akkumulatoren sowie Batterien benutzt man den Begriff „Kapazität“ für die maximale Ladungsmenge Q, welche in ihnen gespeichert werden kann. Sie wird in Amperestunden (Ah) angegeben. Diese elektrische Ladung ist nicht die hier dargestellte elektrische Kapazität.

Kapazität eines Kondensators[Bearbeiten]

Eine technisch wesentliche Anwendung findet die Kapazität in Form von elektrischen Kondensatoren, welche durch die Angabe einer bestimmten Kapazität charakterisiert werden. Der Begriff „Kapazität“ wird umgangssprachlich auch synonym für das elektrische Bauelement Kondensator selbst (englisch capacitor) verwendet.

Kondensatoren stellen eine Leiteranordnung mit zwei Elektroden zur getrennten Speicherung von elektrischer Ladung +Q und -Q dar. In physikalischer Sicht rührt der elektrische Fluss \Psi von den getrennten elektrischen Ladungen +Q und -Q, die von der externen Spannungsquelle mit der Spannung U auf die Elektroden transportiert werden, womit sich:

Q = C \cdot U

ergibt. Formal erfolgt dieser Zusammenhang über das Gaußsche Gesetz. Die elektrische Kapazität eines Kondensators kann dann als das Verhältnis der Ladungsmenge Q zur angelegten Spannung U ausgedrückt werden:

C = \frac{Q}{U}.

Dabei ist C üblicherweise eine konstante Kenngröße, die sich wie folgt ergibt.

Ein Körper auf den eine positive elektrische Ladung gegeben wird, hat dadurch ein elektrisches Feld, das der Bewegung einer weiteren positiven elektrischen Ladung auf den Körper entgegenwirkt. Befindet sich nun aber ein Körper in der Nähe, der negativ geladen ist, so wird das abstoßende elektrische Feld des positiven Körpers geschwächt (die auf den Körper zu bewegende positive Ladung spürt auch die Kraft der anziehenden negativen Ladung). Damit wird weniger Spannung benötigt um die weitere positive Ladung auf den bereits positiv geladenen Körper zu bewegen, als ohne den zweiten negativ geladenen Körper. Der erste Körper hat also eine höhere Kapazität. Das gleiche gilt natürlich auch für den zweiten Körper. Die Abschwächung des elektrischen Feldes durch den einen geladenen Körper auf den anderen geladenen Körper und vice versa, wird beeinflusst durch deren Geometrie und die Permeabilität des isolierenden Mediums zwischen den beiden Körpern.

Als vereinfachte Analogie entspricht die Kapazität, dem Volumen eines Druckluftbehälters mit konstanter Temperatur. Der Luftdruck ist dabei analog zur Spannung U und die Luftmenge analog zur Ladungsmenge Q. Daher ist die Ladungsmenge im Kondensator proportional zur Spannung.

Diese Gesetzmäßigkeit gilt auch für die sogenannte Pseudokapazität, einer innerhalb enger Grenzen spannungsabhängigen elektrochemischen bzw. faradayschen Speicherung elektrischer Energie, die mit in einer Redoxreaktion und mit einem Ladungsaustausch an Elektroden von Doppelschichtkondensatoren verbunden ist, wobei allerdings im Gegensatz zu Akkumulatoren an den Elektroden keine chemische Stoffänderung eintritt.

Unter anderem die Physikalisch-Technische Bundesanstalt (PTB) befasst sich mit Kapazitätsnormalen.

Einheit[Bearbeiten]

Die elektrische Kapazität wird in der abgeleiteten SI-Einheit Farad gemessen. Ein Farad (1 F) ist diejenige Kapazität, die beim Anlegen einer Spannung von 1 Volt eine Ladungsmenge von 1 Coulomb (1 C = 1 As) speichert:

[C]=\frac{[Q]}{[U]} = \frac{1\,\mathrm{C}}{1\,\mathrm{V}} = \frac{1\,\mathrm{As}}{1\,\mathrm{V}} = 1\,\mathrm{F}

Ein Kondensator der Kapazität 1 Farad lädt sich bei einem konstanten Ladestrom von 1 Ampere in 1 Sekunde auf die SpannungVolt auf. Die SI-Einheit Farad, genannt zu Ehren des englischen Physikers und Chemikers Michael Faraday, hat sich heutzutage international überall durchgesetzt.

Veraltete Einheit[Bearbeiten]

Papierkondensator mit der Kapazität 5000 cm.

Bis Mitte des 20. Jahrhunderts wurde die Kapazität von Kondensatoren häufig mit der Kapazitätseinheit cm beschriftet. Diese Angabe in Zentimetern rührt daher, dass die Kapazität im heute praktisch kaum noch gebrauchten Gaußschen Einheitensystem in der Längendimension ausgedrückt wird. So weist eine Metallkugel mit 5 cm Radius gegenüber einer sich im Unendlichen befindlichen Gegenelektrode eine Kapazität von 5 cm auf.

Die nebenstehende Abbildung zeigt einen Papierkondensator der Marke SATOR der ehemaligen Firma Kremenezky, Mayer & Co von Johann Kremenezky aus dem Jahr 1950 mit einer Kapazität von „5000 cm“ bei einer Prüfspannung von „2000 V“. Dies wäre eine Kapazität von ca. 5,6 nF im heute üblichen SI-Einheitensystem. Das entspricht der Kapazität einer Metallkugel von 5000 cm Radius.

Eine Kapazität von 1 cm im Gaußschen Einheitensystem entspricht ca. 1,1 pF im SI-Einheitensystem, der Umrechnungsfaktor ist 4πε0. Diese Umrechnung kommt durch die Definition der Feldkonstante im Gaußschen Einheitensystem zustande:

\varepsilon_0 := \frac {1} {4 \pi} im Gaußschen Einheitssystem (nicht im SI-System)

Kapazität bestimmter Leiteranordnungen[Bearbeiten]

Für die Kapazität einer Reihe von einfachen Leiteranordnungen gibt es analytische Lösungen oder konvergente Reihenentwicklungen. Die folgende Tabelle zeigt einige Beispiele:

Bezeichnung Kapazität Schematische Darstellung
Plattenkondensator C  \approx \varepsilon \cdot \frac{A}{d} Plate CapacitorII.svg
Koaxialkabel oder
Zylinderkondensator
C=2\pi \varepsilon \, \frac{l}{\ln\!\left(\frac{R_2}{R_1}\right)} Cylindrical CapacitorII.svg
Kugelkondensator C= \frac{4 \pi \varepsilon}{\left( \frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2}\right)} Spherical Capacitor.svg
Kugel, Gegenelektrode
mit R2 gegen unendlich
C = 4 \pi \varepsilon \cdot R_1
Parallele Zylinder
(Lecher-Leitung)
C = \frac{\pi \varepsilon l}{\rm arcosh\left(\frac {d}{2R}\right)} Lecher-Leitung.svg
Ein Leiter parallel
über ebener Fläche.
C = \frac{2\pi \varepsilon l}{\operatorname{arcosh}\left( \frac{d}{R}\right) } Cylindrical wire parallel to wall.svg
d > R
Zwei Kugeln mit
identischem
Radius a[1][2]
C = 2\pi \varepsilon a\sum_{n=1}^{\infty }\frac{\sinh \left( \ln \left( D+\sqrt{D^2-1}\right) \right) }{\sinh \left( n\ln \left( D+\sqrt{ D^2-1}\right) \right) }
=2\pi \varepsilon a\left\{ 1+\frac{1}{2D}+\frac{1}{4D^2}+\frac{1}{8D^{3}}+\frac{1}{8D^{4}}+\frac{3}{32D^{5}}+O\left( \frac{1}{D^{6}}\right) \right\}
=2\pi \varepsilon a\left\{ \ln 2+\gamma -\frac{1}{2}\ln \left( \frac{d}{a}-2\right) +O\left( \frac{d}{a}-2\right) \right\}
Two Spherical Capacitance.svg

d: Abstand der Kugeln, d > 2a
D: d/2a
γ: Euler-Mascheroni-Konstante

Kreisscheibe[3]  C = 8\varepsilon a a: Radius
Gerades Drahtstück
(langer Zylinder)[4][5][6]
 C = \frac{2\pi \varepsilon l}{\Lambda }\left\{ 1+\frac{1}{\Lambda }\left( 1-\ln 2\right) +\frac{1}{\Lambda ^{2}}\left[ 1+\left( 1-\ln 2\right) ^{2}-\frac{\pi ^{2}}{12}\right] +O\left(\frac{1}{\Lambda ^{3}}\right) \right\} a: Drahtradius
l: Länge
Λ: ln(l/a)

Hierin bezeichnet ggf. A die Fläche der Elektroden, d deren Abstand, l deren Länge, R_1 sowie R_2 deren Radien. Es gilt \varepsilon = \varepsilon_0 \varepsilon_\mathrm{r}, wobei \varepsilon_0 für die elektrische Feldkonstante des Vakuums und \varepsilon_\mathrm{r} für die dielektrische Leitfähigkeit des Dielektrikums steht. In der schematischen Darstellung sind die Leiter hellgrau bzw. dunkelgrau und das Dielektrikum blau gefärbt.

Berechnungen zur Kapazität[Bearbeiten]

Allgemeine Situation zur Kapazitätsbestimmung

Allgemeine Gleichungen für die Bestimmung der Kapazität gelten für Strom, Spannung und Ladung an einer elektrischen Kapazität:

 i(t) = \frac{\mathrm dQ(t)}{\mathrm dt}
 u(t) = \frac{1}{C} \cdot \int i(t) \, \mathrm dt
 i(t) = C \cdot \frac{\mathrm du(t)}{\mathrm dt}

Ein Ausdruck für die Kapazität einer beliebigen Elektrodenanordnung oder Ladungsverteilung lässt sich mittels des Gaußschen Satzes herleiten:

C = \frac{Q}{U} =\frac{ \oint_{A} \vec D \cdot \mathrm d \vec{A}} {\int_s \vec E \cdot \mathrm d \vec {s}}
C = \varepsilon_0 \cdot \varepsilon_r \cdot \frac{ \oint_{A} \vec E \cdot \mathrm d \vec {A}} {\int_s \vec E  \cdot \mathrm d \vec {s}}

Dabei beträgt  \vec D = \varepsilon_0 \cdot \varepsilon_r \cdot \vec E . Für ein Vakuum vereinfacht sich die o.g. Gleichung wegen  \varepsilon_r = 1 zu:

C = \varepsilon_0 \cdot \frac{ \oint_{A} \vec E \cdot \mathrm d \vec A }{\int_s \vec E  \cdot \mathrm d \vec s}

Eine Berechnung der Kapazität erfordert die Kenntnis des elektrischen Feldes. Hierfür ist die Laplace-Gleichung \nabla^2\varphi=0 mit einem konstanten Potential \varphi auf den Leiteroberflächen zu lösen. In komplizierteren Fällen existiert keine geschlossene Form der Lösung.

Messen der Kapazität[Bearbeiten]

Das Messen der Kapazität dient nicht nur der Kontrolle der Kapazität eines Kondensators (Bauteil), sondern wird beispielsweise in kapazitiven Abstandssensor zur Abstandsbestimmung herangezogen. Auch weitere Sensoren (Druck, Feuchte, Gase) beruhen oft auf einer Kapazitätsmessung.

Entsprechend den oben genannten Zusammenhängen kann die Kapazität folgendermaßen bestimmt werden:

  • Laden mit konstantem Strom und Beobachten der Spannungsanstiegsgeschwindigkeit
  • Messen der Resonanzfrequenz eines mit der Kapazität gebildeten LC-Schwingkreises
  • Anlegen einer Wechselspannung und Messen des Stromverlaufes

Insbesondere das letztgenannte Verfahren wird in Kapazitätsmessgeräten angewendet, wobei nicht nur die Größe des Stromes, sondern auch seine Phasenlage zur Spannung erfasst wird. Auf diese Weise kann auch der Verlustwinkel bzw. der Gütefaktor des Kondensators bestimmt werden.

Literatur[Bearbeiten]

  •  Karl Küpfmüller, Wolfgang Mathis, Albrecht Reibinger: Theoretische Elektrotechnik. 18. Auflage. Springer, 2008, ISBN 978-3-540-78589-7.

Einzelnachweise und Fußnoten[Bearbeiten]

  1. J. C. Maxwell: A Treatise on Electricity and Magnetism. Dover, 1873, ISBN 0-486-60637-6, S. 266 ff.
  2. A. D. Rawlins: Note on the Capacitance of Two Closely Separated Spheres. In: IMA Journal of Applied Mathematics. 34, Nr. 1, 1985, S. 119–120. doi:10.1093/imamat/34.1.119.
  3. J. D. Jackson: Classical Electrodynamics. Wiley, 1975.
  4. J. C. Maxwell: On the electrical capacity of a long narrow cylinder and of a disk of sensible thickness. In: Proc. London Math. Soc.. IX, 1878, S. 94–101. doi:10.1112/plms/s1-9.1.94.
  5. L. A. Vainshtein: Static boundary problems for a hollow cylinder of finite length. III Approximate formulas. In: Zh. Tekh. Fiz.. 32, 1962, S. 1165–1173.
  6. J. D. Jackson: Charge density on thin straight wire, revisited. In: Am. J. Phys. 68, Nr. 9, 2000, S. 789–799. Bibcode: 2000AmJPh..68..789J. doi:10.1119/1.1302908.