Elektrische Kapazität

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Physikalische Größe
Name Elektrische Kapazität
Formelzeichen der Größe C
Größen- und
Einheiten-
system		 Einheit Dimension
SI Farad (F) M−1·L−2·T4·I2
CGS Zentimeter (cm) Länge (L)

Die elektrische Kapazität (Formelzeichen C, von lateinisch capacitas = Fassungsvermögen; Adjektiv kapazitiv) ist eine physikalische Größe, die die Fähigkeit eines zu diesem Zweck gebauten Kondensators oder einer anderen elektrischen Leiteranordnung definiert, elektrische Ladung zu speichern. Die elektrische Kapazität wird als Verhältnis der Ladungsmenge Q zur angelegten Spannung U bestimmt:

C=\frac{Q}{U}.

Inhaltsverzeichnis

[Bearbeiten] Einheit

Die elektrische Kapazität wird in der abgeleiteten SI-Einheit Farad gemessen. Ein Farad (1 F) ist diejenige Kapazität, die beim Anlegen einer Spannung von 1 Volt eine Ladungsmenge von 1 Coulomb (As) speichert:

[C]=\frac{[Q]}{[U]} = \frac{1\,\mathrm{As}}{1\,\mathrm{V}} = 1\,\mathrm{F}

Ein Kondensator der Kapazität 1 Farad lädt sich bei einem konstanten Ladestrom von 1 Ampere in 1 Sekunde auf die Spannung 1 Volt auf.

Die SI-Einheit Farad, genannt zu Ehren des englischen Physikers und Chemikers Michael Faraday, hat sich heutzutage international überall durchgesetzt.

Unter anderem die Physikalisch-Technische Bundesanstalt (PTB) befasst sich mit Kapazitätsnormalen.

[Bearbeiten] Veraltete Einheit

Papierkondensator mit der Kapazität 5000 cm.

Bis Mitte des 20. Jahrhunderts wurde die Kapazität von Kondensatoren häufig mit der Kapazitätseinheit cm beschriftet. Diese Angabe in Zentimetern rührt daher, dass die Kapazität im heute praktisch kaum noch gebrauchten Gaußschen Einheitensystem in der Längendimension ausgedrückt wird. So weist eine Metallkugel mit 5 cm Radius gegenüber einer im Unendlichen befindlichen Gegenelektrode eine Kapazität von 5 cm auf.

Die nebenstehende Abbildung zeigt einen Papierkondensator der Firma SATOR aus dem Jahr 1950 mit einer Kapazität laut Aufdruck von „5000 cm“ bei einer Prüfspannung von „2000 V“. Dies wäre eine Kapazität von ca. 5,6 nF im heute üblichen SI-Einheitensystem. Das entspricht der Kapazität einer Metallkugel von 5000 cm Radius.

Eine Kapazität von 1 cm im Gaußschen Einheitensystem entspricht ca. 1,1 pF im SI-Einheitensystem, der Umrechnungsfaktor ist 4πε0. Diese Umrechnung kommt durch die Definition der Feldkonstante im Gaußschen Einheitensystem zustande:

\varepsilon_0 := \frac {1} {4 \pi} im Gaußschen Einheitssystem (nicht im SI-System)

[Bearbeiten] Umgangssprachliche Begriffsverwendung

Der Begriff „Kapazität“ wird umgangssprachlich auch synonym für das elektrische Bauelement Kondensator (engl.: capacitor) verwendet.

Bei Akkumulatoren benutzt man den Begriff „Kapazität“ für deren maximale Ladungsmenge, die meist in Amperestunden angeben wird. Dies ist etwas anderes als die Kapazität von Kondensatoren.

[Bearbeiten] Kapazitiver Widerstand

Für den kapazitiven Widerstand XC bei der Frequenz f gilt

X_C= \frac{1}{\omega \cdot C}= \frac{1}{2\pi f\cdot C}

[Bearbeiten] Zeitkonstante

Reihenschaltung eines Widerstandes R und eines Kondensators C
Spannung VC an der Kapazität als Funktion der Zeit
Strom IR = IC durch Widerstand und Kapazität als Funktion der Zeit

Das Bild zeigt die typische Anwendung einer Kapazität als Teil einer elektrischen Schaltung. Die Spannung Vin (in diesem Beispiel wird die angelsächsische Symbolik genutzt, d. h. das Symbol V statt U für die elektrische Spannung; vgl. Bild) wird zum Zeitpunkt t = 0 an die Reihenschaltung eines Widerstandes R und eines Kondensators C gelegt. Nach den Gesetzmäßigkeiten von Reihenschaltungen gelten für die Spannung die Zusammenhänge

\;\!V_\mathrm{in}=V_R + V_C
\frac{V_\mathrm{in} - V_C}{R} = C \cdot \frac{\mathrm dV_C}{\mathrm dt}

Die Differentialgleichung liefert die Lösungen

\,\!V_C(t) = V_\mathrm{in}\left(1 - e^{-t/RC}\right)
\,\!V_R(t) = V_\mathrm{in}\cdot e^{-t/RC}
\,\!I_C(t) = \frac{V_\mathrm{in}}{R}e^{-t/RC}

Das Produkt RC nennt man Zeitkonstante τ (griechisch: tau), die angibt

  • zu welchem Zeitpunkt nach dem Einschalten die Spannung VC an der Kapazität 63,2 % der Anfangsspannung Vin erreicht hat
  • zu welchem Zeitpunkt nach dem Einschalten der (Lade-)Strom IC durch die Kapazität auf 36,8 % des Anfangswertes Vin/R gesunken ist.

Die Zeitkonstante ist Ursache, dass bei großen Kapazitäten geraume Zeit vergehen kann, bis die Spannung VC ihren Nennwert erreicht.

[Bearbeiten] Beispiel

Ein Kondensator mit C = 100 µF wird über einen Widerstand R = 20 kΩ an eine Spannung Vin = 40 V gelegt. Aus der Zeitkonstante τ = RC = 2 s und den Zeitangaben im Bild folgt, dass nach 3τ = 6 s die Spannung am Kondensator erst 95% des Endwertes 40 V erreicht.

[Bearbeiten] Kapazität bestimmter Leiteranordnungen

Kondensatoren als Bauelemente, die wegen ihrer Kapazität eingesetzt werden, sind ausführlich im Artikel Kondensator (Elektrotechnik) dargestellt. Bei einer Reihe von -übersichtlichen- Leiteranordnungen lässt sich die Kapazität exakt bestimmen. Sie liegen häufig den als Kondensator verwendeten Bauelementen zugrunde. Die folgende Tabelle zeigt einige Beispiele:

Bezeichnung Kapazität Schematische Darstellung
Plattenkondensator C = \varepsilon_0\varepsilon_\mathrm{r} \cdot \frac{A}{d} Plate CapacitorII.svg
Zylinderkondensator C=2\pi \varepsilon_0\varepsilon_\mathrm{r} \, \frac{l}{\ln\!\left(\frac{R_2}{R_1}\right)} Cylindrical CapacitorII.svg
Kugelkondensator C=4 \pi \varepsilon_0 \varepsilon_\mathrm{r} \left( \frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2}\right)^{-1} Spherical Capacitor.svg
Kugel C = 4 \pi \varepsilon_0 \varepsilon_\mathrm{r} R_1
Parallele Zylinder (Lecher-Leitung) C = \pi \varepsilon_0 \varepsilon_\mathrm{r} \, \frac{l}{\rm arcosh\left(\frac {d}{2R}\right)} Lecher-Leitung.svg

Hierin bezeichnet ggf. A die Fläche der Leiter, d deren Abstand, l deren Länge, R1 sowie R2 deren Radien. '\varepsilon_0' ist die Elektrische Feldkonstante des Vakuums und '\varepsilon_\mathrm{r}' die relative Permittivität des Dielektrikums. In der schematischen Darstellung sind die Leiter hellgrau bzw. dunkelgrau und das Dielektrikum blau gefärbt.

[Bearbeiten] Berechnungen zur Kapazität

Folgende Formeln gelten für Strom, Spannung und Ladung an einer elektrischen Kapazität:

i(t) = \frac{\mathrm dQ(t)}{\mathrm dt}
u(t) = \frac{1}{C} \cdot \int i(t) \, \mathrm dt
i(t) = C \cdot \frac{\mathrm du(t)}{\mathrm dt}


Allgemeine Situation zur Kapazitätsbestimmung

Die Kapazität einer beliebigen Elektrodenanordnung oder Ladungsverteilung lässt sich mittels des Gaußschen Satzes herleiten:

C = \frac{Q}{U} =\frac{ \oint_{A} \vec D \cdot \mathrm d \vec{A}} {\int_s \vec E \cdot \mathrm d \vec {s}}
C = \varepsilon_0 \cdot \varepsilon_r \cdot \frac{ \oint_{A} \vec E \cdot \mathrm d \vec {A}} {\int_s \vec E \cdot \mathrm d \vec {s}}


Dabei beträgt \vec D = \varepsilon_0 \cdot \varepsilon_r \cdot \vec E . Für ein Vakuum vereinfacht sich die o.g. Gleichung wegen \varepsilon_r = 1 zu:

C = \varepsilon_0 \cdot \frac{ \oint_{A} \vec E \cdot \mathrm d \vec A }{\int_s \vec E \cdot \mathrm d \vec s}
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