Permittivität

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Physikalische Größe
Name dielektrische Leitfähigkeit oder Permittivität
Formelzeichen der Größe \varepsilon
Größen- und
Einheitensystem
Einheit Dimension
SI F·m−1
= A·s·V−1·m−1
M−1·L−3·T4·I2

Die Permittivität ε (von lat.: permittere = erlauben, überlassen, durchlassen), auch dielektrische Leitfähigkeit oder dielektrische Funktion genannt, gibt die Durchlässigkeit eines Materials für elektrische Felder an. Auch dem Vakuum ist eine Permittivität zugewiesen, da sich auch im Vakuum elektrische Felder einstellen oder elektromagnetische Felder ausbreiten können.

Die relative Permittivität \varepsilon_r eines Mediums, auch Permittivitäts- oder Dielektrizitätszahl genannt, ist das Verhältnis seiner Permittivität \varepsilon zu der des Vakuums (elektrische Feldkonstante \varepsilon_0):

\varepsilon_r = {\varepsilon \over \varepsilon_0}

Sie ist ein Maß für die feldschwächenden Effekte der dielektrischen Polarisation des Mediums und hängt eng mit der elektrischen Suszeptibilität \chi = \varepsilon_r - 1 zusammen. In der englischsprachigen Literatur und in der Halbleitertechnik wird die relative Permittivität auch mit \kappa (kappa) oder – wie etwa bei den Low-k-Dielektrika – mit k bezeichnet.

Die Bezeichnung (relative) Dielektrizitätskonstante für die (relative) Permittivität ist im deutschen Sprachgebrauch als Synonym etabliert. Dieser Begriff gilt allerdings als veraltet, da es sich – anders als diese Bezeichnung suggeriert – infolge der starken Frequenzabhängigkeit nicht um eine Konstante handelt.

Erläuterung der Permittivität am Beispiel isolierender Stoffe[Bearbeiten]

In einem Dielektrikum führt die Orientierung ortsfester elektrisch geladener Dipole zu Polarisationseffekten. Solche Materialien können den elektrischen Fluss um den Faktor \varepsilon_r (relative Permittivität) besser leiten als der leere Raum

Als Permittivität bezeichnet man eine Materialeigenschaft elektrisch isolierender, polarer oder unpolarer Stoffe, die auch Dielektrika genannt werden. Diese Eigenschaft wirkt sich aus, wenn der Stoff mit einem elektrischen Feld wechselwirkt, etwa wenn er sich in einem Kondensator befindet. In einem mit Material gefüllten Kondensator orientieren sich die Ladungsträger des Isolationsmaterials am elektrischen Feldvektor und bilden ein Polarisationsfeld, das dem äußeren Feld entgegenwirkt und dieses schwächt. Dieses Phänomen der Feldschwächung lässt sich bei Annahme eines gegebenen elektrischen Erregungsfeldes dadurch beschreiben, dass dem isolierenden Material ein Faktor \varepsilon_r zur elektrischen Feldkonstante \varepsilon_0 (Permittivität des Vakuums) zugewiesen wird. Aus der äußeren elektrischen Erregung  \vec{D}, auch als elektrische Flussdichte bezeichnet, ergibt sich das elektrische Feld  \vec{E} mit der Permittivität \varepsilon zu:

 \vec{E} = \frac{\vec{D}}{\varepsilon} = \frac {\vec{D}}{\varepsilon_r\varepsilon_0}.

Bei konstanter elektrischer Erregung  \vec{D} und steigenden Werten von \varepsilon_r nimmt die elektrische Feldstärke  \vec{E} ab. Auf diese Weise wird der feldschwächende Effekt bei gleicher elektrischer Erregung erfasst, d. h. bei vorgegebener elektrischer Flussdichte oder vorgegebener elektrischer Ladung. Unter der Einwirkung einer an den Kondensatorplatten angelegten fixen Spannung U und dem elektrischen Feld E = \frac{U}{d} (Plattenabstand d) ergibt sich die elektrische Erregung  \vec{D} mit der Permittivität \varepsilon zu:

 \vec{D} = \varepsilon_r \varepsilon_0 \vec{E}.

Die elektrische Suszeptibilität \chi ist mit der relativen Permittivität über

\varepsilon_r = \frac{\varepsilon}{\varepsilon_0} = 1 + \chi .

verknüpft. Die Suszeptibilität ist dabei ein Maß für die Dichte im Isolationsmaterial gebundener Ladungsträger bezogen auf die Dichte freier Ladungsträger. Mehr dazu steht im Beitrag elektrische Suszeptibilität.

In der Elektrodynamik und auch in der Elektrostatik wird die Permittivität zur Beschreibung der o. a. Phänomene als Proportionalitätsfaktor im Zusammenhang zwischen elektrischer Flussdichte und elektrischer Feldstärke verwendet:

\vec{D} = \varepsilon \vec{E}

In Materie stellt diese Gleichung nur die niedrigste Ordnung eines im Allgemeinen nichtlinearen Zusammenhangs dar: Im Falle großer Feldstärken fasst man entweder die Permittivität als feldstärkeabhängig auf und schreibt \varepsilon(E), oder man führt neben \varepsilon=\varepsilon^{(1)} weitere Taylor-Koeffizienten ein, \varepsilon=\varepsilon^{(2)} usw., die die Feldstärkeabhängigkeit von  \vec{D} beschreibt:


 \vec{D} = \frac{\vec{E}}{\|\vec{E}\|} \left(
 \varepsilon^{(1)}\cdot \|\vec{E}\|
 + \varepsilon^{(2)}\cdot \|\vec{E}\|^2
 + \varepsilon^{(3)}\cdot \|\vec{E}\|^3
 + \cdots \right)

Im Vakuum als Referenzmaterial eines Isolierstoffes gilt die relative Permittivität  \varepsilon_r=1

Die Permittivität ist ein Proportionalitätsfaktor zwischen der Raumladungsdichte \rho und der zweiten partiellen Ableitung des Potenzialfelds \Phi. Sie lässt sich aus der Poisson-Gleichung der Elektrostatik errechnen.

\varepsilon = -\frac{\rho(\mathbf r)}{\Delta \Phi(\mathbf r)}

Permittivität des Vakuums[Bearbeiten]

Hauptartikel: Elektrische Feldkonstante

Die Permittivität des Vakuums \varepsilon_0 ist eine Naturkonstante. Im Vakuum besteht zwischen der magnetischen Feldkonstante \mu_0, der Permittivität des Vakuums \varepsilon_0 und der Vakuumlichtgeschwindigkeit c folgender Zusammenhang:

c^2 = \frac {1} {\varepsilon_0 \mu_0}.

Im Internationalen Einheitensystem (SI–System) geschieht die Rückführung der elektromagnetischen auf die mechanischen Größen in der Definition der Stromstärke. Dies hat zur Folge, dass sich die Permittivität des Vakuums mit beliebiger Genauigkeit aus den exakt festgelegten Naturkonstanten \mu_0 und c berechnen lässt:


\varepsilon_0 = \frac{1}{\mu_0 c^{2}} = 8{,}854\,187\,817\,62\ldots \cdot 10^{-12}~\frac{\mathrm{As}}{\mathrm{Vm}}

Die Einheit der Permittivität kann hier ausgedrückt werden als:


 \mathrm{F\,m^{-1}} = \mathrm{A^2\,s^4\,kg^{-1}\,m^{-3} } = \mathrm{ As\,V^{-1}\,m^{-1} } = \mathrm{C\,V^{-1}m^{-1}}= \mathrm{J\,V^{-2}m^{-1}}
.

Da die elektrische Polarisierbarkeit von Luft gering ist, kann die Permittivität der Luft häufig in ausreichender Genauigkeit durch \varepsilon_0 genähert werden. Dies ist insbesondere bei Radar und in der Funktechnik der Fall.

Zahlenwert und Einheit[Bearbeiten]

Neben dem Coulomb-Gesetz, dem ampèreschen Gesetz und dem faradayschen Induktionsgesetz stellt der Zusammenhang zwischen μ0, \varepsilon_0 und c eine weitere Verknüpfung elektromagnetischer und mechanischer Einheiten dar, die bei der Wahl eines elektromagnetischen Einheitensystems zu berücksichtigen ist.

Abhängig vom verwendeten Einheitensystem verändert sich dabei die Darstellung der Permittivität \varepsilon = \varepsilon_0 \varepsilon_r analog zur Darstellung von \varepsilon_0.

Die Verhältnisse im SI-Einheitensystem sind oben angegeben. In Einheitensystemen, die die elektromagnetischen Größen explizit auf mechanische Basisgrößen zurückführen, namentlich den verschiedenen Varianten des CGS-Einheitensystems, wird \varepsilon_0 als dimensionslose Zahl gewählt:

\varepsilon_0 := 1 (Heaviside-Lorentz-Einheitensystem),
\varepsilon_0 := \frac {1} {4 \pi} (elektrostatisches, elektromagnetisches oder gaußsches Einheitensystem).

Relative Permittivität[Bearbeiten]

Für \varepsilon_r sind folgende Bezeichnungen gebräuchlich:

  • relative Permittivität (Bezeichnung nach Norm)
  • relative Dielektrizitätskonstante (veraltet)
  • Dielektrizitätszahl (veraltet)
  • Permittivitätszahl

Die Bezeichnung als Konstante ist unangemessen, da \varepsilon_r im Allgemeinen eine Funktion mehrerer Parameter ist, insbesondere der Frequenz und der Temperatur.

Nur für isotrope Medien ist \varepsilon_r eine skalare Größe. In diesem einfachsten Fall gibt sie den Faktor an, um den die Spannung an einem Kondensator sinkt, wenn man bei gleicher Geometrie ein zwischen den Kondensatorelektroden angenommenes Vakuum durch ein dielektrisches, nicht leitendes Material ersetzt. Im Versuch lässt sich dies nachvollziehen, wenn ein Luftvolumen um die Kondensatorelektroden z. B. durch eine dielektrische Flüssigkeit ersetzt wird. Für einen Plattenkondensator genügt es, einen dielektrischen Gegenstand zwischen die Elektroden zu schieben.

Relative Permittivität in kristallinen Strukturen[Bearbeiten]

Im Allgemeinen ist \varepsilon_r jedoch ein Tensor zweiter Stufe, der die kristalline (oder anders geordnete) Struktur der Materie widerspiegelt und damit die Richtungsabhängigkeit der Faktoren. Die Tensoreigenschaft der Permittivität ist Grundlage für die Kristalloptik.

Die relative Permittivität \varepsilon_r ist ein Tensor zweiter Stufe (und damit als Funktion der Lichtausbreitungsrichtung relativ zu ausgezeichneten Kristallachsen), der sowohl von der Frequenz (also bei Betrachtung von Licht von dessen Wellenlänge) als auch vom äußeren elektrischen Feld und magnetischen Feldern abhängig ist, und wird auch dielektrische Funktion genannt. Vor allem im Englischen wird auch das Größensymbol κ verwendet (siehe Low-k-Dielektrikum bzw. High-k-Dielektrikum).

Frequenzabhängigkeit der relativen Permittivität[Bearbeiten]

Die Permittivität von Wasser (20 °C) hängt schwach von der Temperatur, aber sehr stark von der Frequenz ab. Der Realanteil betrifft die Berechnung der Kapazität, der Imaginäranteil die Energieabsobtion.

Die Permittivität in Materie ist frequenzabhängig und kann beispielsweise über das einfache Modell des Lorentz-Oszillators recht gut modelliert werden. Diese Frequenzabhängigkeit wird Dispersion genannt. Sie ist beispielsweise bei Wasser sehr stark ausgeprägt.

Der frequenzabhängige Brechungsindex eines Materials steht in folgender Relation zur elektrischen Permittivität und zur magnetischen Permeabilität (beide ebenfalls frequenzabhängig):

n^2(\lambda) = \mu_r(\lambda) \cdot \varepsilon_r(\lambda).

Für transparente Stoffe gilt näherungsweise \varepsilon_r \approx n^2, da \mu_r \approx 1 ist. Die optische Dispersion ist ein Ausdruck dafür, dass \varepsilon auch bei den Frequenzen sichtbaren Lichts keine konstante Zahl ist. In Tabellenwerken ist in der Regel der Zahlenwert bei niedrigen Frequenzen (Größenordnung 50 Hz bis 100 kHz) angegeben, bei denen molekulare Dipole dem äußeren Feld nahezu unverzögert folgen können. Das Zurückbleiben der Moleküle gegenüber dem hochfrequenten elektrischen Feld wird makroskopisch mit einer komplexen relativen Permittivität beschrieben.

Komplexwertige relative Permittivität[Bearbeiten]

Beispielhafter Verlauf der komplexen relativen Permittivität über einen weiten Frequenzbereich. Aufgespalten in Realteil (rot) und Imaginärteil (blau) mit symbolischer Darstellung der verschiedenen Ursachen wie die Relaxation und bei höheren Frequenzen atomare und elektronische Resonanzen

Die relative Permittivität \varepsilon_r ist allgemein komplexwertig. Genauso wie bei Gleichfeldern bilden sich auch bei Wechselfeldern in Dielektrika Polarisationsfelder, die aber gegebenenfalls der angelegten äußeren Feldgröße um einen gewissen Phasenwinkel nacheilen. Dabei bleibt die Orientierung der Ladungsträger im Dielektrikum in der Phase (zeitlich) hinter der Umpolarisierung des angelegten Wechselfeldes zurück. Mit zunehmender Frequenz wird dieser Effekt stärker. Es lässt sich leicht vorstellen, dass Wechselfelder hoher Frequenz durch schnelles, wiederkehrendes Umpolarisieren in isolierenden Materialien Wärmeverluste erzeugen. Bei noch höheren Frequenzen, mit denen Ladungsträger im Bändermodell eines Kristalls angeregt werden können, wird ebenfalls Energie absorbiert. Diesen Phänomenen wird dadurch Rechnung getragen, dass die relative Permittivität komplexwertig mit

 {\varepsilon_r = \varepsilon_r' - \mathrm{i} \varepsilon_r'' }

alternativ auch mit

 {\varepsilon_r = \varepsilon_1 - \mathrm{i} \varepsilon_2 }

beschrieben wird, wobei die dielektrischen Verluste über den Imaginärteil \varepsilon_r'' der Permittivität erfasst werden. Eine weitverbreitete Anwendung, die das Phänomen dielektrischer Verluste ausnutzt, ist die Erwärmung im Mikrowellenofen. Die Verlustleistungsdichte bei dielektrischer Erwärmung beträgt, bezogen auf das Materialvolumen:

 p = \omega \cdot \varepsilon_r'' \cdot \varepsilon_0 \cdot E^2

Die mit der Verlustleistung verbundene dielektrische Erwärmung entspricht bei Integration über den Erwärmungszeitraum exakt der einem Materialvolumen mit elektromagnetischen Wellen zugeführten inneren Energie eines Materials, wie in der Thermodynamik beschrieben. Der Imaginärteil der komplexwertigen, relativen Permittivität ist ein Maß für die Fähigkeit eines Stoffes, elektromagnetische Feldenergie bei Hochfrequenz in Wärmeenergie zu wandeln.

Temperaturabhängigkeit[Bearbeiten]

Temperaturabhängig ist beispielsweise die komplexwertige, relative Permittivität von Wasser, deren Realteil bei Raumtemperatur einen Wert von etwa 80 annimmt, und bei 95 °C circa 55 beträgt[1]. Die Abnahme der Permittivität bei steigender Temperatur hängt mit dem zunehmenden Grad der Unordnung der Ladungsträger bei einer Zunahme der inneren Energie zusammen. Molekular betrachtet nimmt die Polarisierbarkeit aufgrund der zunehmenden Eigenbewegung der Ladungsträger bei höherer innerer Energie ab; makroskopisch betrachtet sinkt somit die relative Permittivität bei Temperaturerhöhung.

Relative Permittivität ausgewählter Materialien[Bearbeiten]

Relative Permittivität einiger Stoffe
bei 18 °C und einer Frequenz von 50 Hz, sofern nicht anders angegeben
Medium \varepsilon_r Medium \varepsilon_r
Vakuum 1,0 Luft 1,00059
Acrylbutadienstyrol (ABS) (30 °C) 4,3 Aluminiumoxid (Tonerde) 9
Ammoniak (0 °C) 1,007 Bariumtitanat 103−104
Benzol 2,28 Trockene Erde 3,9
Feuchte Erde 29 Germanium 16,6
Glas 6–8 Glycerin 42,5
Gummi 2,5–3 Holz (darrtrocken) 2–3,5
Kaliumchlorid 4,94 Methanol 32,6
Petroleum 2 Polyethylen (PE) (90 °C) 2,4
Polypropylen (PP) (90 °C) 2,1 Porzellan 2–6
Propanol 18,3 Paraffin 2,2
Papier 1–4 Polytetrafluorethylen
(PTFE oder auch Teflon)
2
FR2, FR4 4,3–5,4 Polystyrol-Schaum
(Styropor ® BASF)
1,03
Tantalpentoxid 27 Wasser (20 °C, 0–3 GHz) 80
Wasser (sichtbarer Bereich) 1,77 Wasser (0 °C, 0–1 GHz) 88
Eis (0 bis −50 °C, Niederfrequenz) ≈ 90–150 Eis (über 100 kHz) 3,2

Tabellierte, umfassende Übersichten frequenz- und temperaturabhängiger, komplexer relativer Permittivitäten vieler Materialien finden sich in [2] und vor allem in [3].

Verallgemeinerungen zur Dispersion, Richtungsabhängigkeit und Magnetfeld[Bearbeiten]

Aus den Maxwell-Gleichungen folgt ein Zusammenhang zwischen dem Brechungsindex, der elektrischen Permittivität und der magnetischen Permeabilität,

n^2 = \varepsilon_r \mu_r

Hier sind \varepsilon und μ bei der einschlägigen optischen Frequenz (größenordnungsmäßig im Bereich 1015 Hz) gemeint. Für gasförmige, flüssige und feste Materie ist \varepsilon_r größer eins. Allerdings gibt es in anderen Materiezuständen, z. B. im Plasma (sog. „vierter Aggregatzustand“), auch Werte, die kleiner als eins sein können.

In dispersiven Materialien hat man es mit der Reaktion des Materials auf elektromagnetische Felder mit der Frequenz von Licht zu tun, also sehr hohen Frequenzen über einen weiten Frequenzbereich. Hier muss der Zusammenhang zwischen dem Brechungsindex und den bei niedrigen Frequenzen gemessenen \varepsilon wesentlich allgemeiner gefasst und die Frequenzabhängigkeit berücksichtigt werden (siehe Lorentz-Oszillator). Auf diese Weise können Absorptions- und Reflexionsspektren von Materialien gut dargestellt werden.

Die Dielektrizitätskonstante wird dabei als komplexe Größe verwendet, mit einem Realteil \varepsilon_r' und einem Imaginärteil \varepsilon_r^{\prime\prime} (vgl. Abschnitt Komplexwertige relative Permittivität).

\varepsilon_r(\omega) = \varepsilon_r'(\omega) - i \varepsilon_r^{\prime\prime}(\omega)

Dabei können in diesen beiden Komponenten direkt die Beiträge verschiedener Mechanismen im Material (z. B. Bandübergänge) angegeben und in ihrer Frequenzabhängigkeit addiert werden – eine detailliertere Darstellung findet sich unter elektrische Suszeptibilität. Über die Kramers-Kronig-Relation kann dann der (dispergierende) Zusammenhang zwischen der komplexen Dielektrizitätskonstanten und den optischen Kenngrößen Brechungsindex n und Absorptionskoeffizient k dargestellt werden. Dies führt zu den theoretischen Spektren von Absorption und Reflexion, die mit gemessenen Spektren verglichen und angepasst werden können.

Für die Berechnung solcher Spektren (von Reflexion oder auch Absorption) können im Fall von \mu_r \approx 1 (nichtmagnetisches Material) die Größen n und k des komplexen Brechungsindex direkt aus den Real- und Imaginärteilen der Permittivität bestimmt werden:

n^2 = \frac{1}{2} \cdot \left(\sqrt{\left(\varepsilon_r'^2 + \varepsilon_r^{\prime\prime 2}\right)} + \varepsilon_r'\right) bzw. k^2 = \frac{1}{2} \cdot \left(\sqrt{\left(\varepsilon_r'^2 + \varepsilon_r^{\prime\prime 2}\right)} - \varepsilon_r'\right)

umgekehrt gilt:

\varepsilon_r' = n^2 - k^2 bzw. \varepsilon_r^{\prime\prime} = 2nk

Ebenfalls kann u. a. der Reflexionsgrad R berechnet werden. Es gilt für einen Strahl, der aus dem Vakuum (bzw. Luft) kommend senkrecht an einer Grenzfläche zu einem Medium mit Brechungsindex N = n + i k reflektiert wird:

R = \frac{(n-1)^2 + k^2}{(n+1)^2 + k^2}

Auf Grund ihrer Kristallstruktur sind die Eigenschaften einiger Materialien richtungsabhängig, z. B. doppelbrechenden Materialien. Diese Materialien finden u. a. Anwendung bei Verzögerungsplatten. Mathematisch lässt sich diese Eigenschaft durch Darstellung in Tensorform erfassen, mit Komponenten für die einzelnen Richtungen. Diese sind wiederum als frequenzabhängig anzusetzen und sogar je nach Richtung in verschiedenem Maße. Neben der „natürlichen“ Richtungsabhängigkeit können die Eigenschaften auch durch äußere Einwirkungen wie ein Magnetfeld (siehe Magnetooptik) oder Druck eine ähnliche Richtungsabhängigkeit bewirken.

Siehe auch[Bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten]

  • Richard P. Feynman, Robert B. Leighton, Matthew Sands: The Feynman Lectures on Physics. Volume 2: Mainly Electromagnetism and Matter. 6th printing. Addison Wesley, Reading MA u. a. 1977, ISBN 0-201-02117-X.
  • Heinrich Frohne: Einführung in die Elektrotechnik. Band 2: Heinrich Frohne, Erwin Ueckert: Elektrische und magnetische Felder (= Teubner Studienskripten. Bd. 2: Elektrotechnik.). 4., durchgesehene Auflage. Teubner, Stuttgart 1983, ISBN 3-519-30002-8.
  •  Arthur von Hippel: Dielectrics and Waves. Wiley u. a., New York NY u. a. 1954 (2nd edition. Artech House, Boston MA u. a. 1995, ISBN 0-89006-803-8).
  •  Arthur von Hippel (Hrsg.): Dielectric Materials and Applications. Technology Press, Boston MA u. a. 1954 (2nd edition. Artech House, Boston MA u. a. 1995, ISBN 0-89006-805-4).
  •  A. C. Metaxas: Foundations of Electroheat. A Unified Approach. John Wiley and Sons, Chichester u. a. 1996, ISBN 0-471-95644-9.
  •  A. C. Metaxas, R. J. Meredith: Industrial Microwave Heating (= IEE Power Engineering Series. Vol. 4). Peter Peregrinus, London 1983, ISBN 0-90604-889-3.
  •  Károly Simonyi: Theoretische Elektrotechnik. 10. Auflage. Barth Verlagsgesellschaft, Leipzig u. a. 1993, ISBN 3-335-00375-6.

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Martin Chaplin: Water and Microwaves. Water Structure and Science, abgerufen am 7. April 2013.
  2.  A. C. Metaxas, R. J. Meredith: Industrial Microwave Heating (= IEE Power Engineering Series. Vol. 4). Peter Peregrinus, London 1983, ISBN 0-90604-889-3.
  3.  Arthur von Hippel (Hrsg.): Dielectric Materials and Applications. Technology Press, Boston MA u. a. 1954 (2nd edition. Artech House, Boston MA u. a. 1995, ISBN 0-89006-805-4).