Die maclaurinsche Reihe (nach Colin Maclaurin ) ist in der Analysis eine Bezeichnung für den Spezialfall einer Taylor-Reihe mit Entwicklungsstelle
x
0
=
0
{\displaystyle x_{0}=0}
f
(
x
)
=
∑
j
=
0
∞
f
(
j
)
(
0
)
j
!
x
j
=
f
(
0
)
+
f
′
(
0
)
⋅
x
+
1
2
!
f
″
(
0
)
⋅
x
2
+
…
{\displaystyle f(x)=\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {f^{(j)}(0)}{j!}}x^{j}=f(0)+f'(0)\cdot x+{\frac {1}{2!}}f''(0)\cdot x^{2}+\dots }
Das Betrachten nur endlich vieler Glieder der obigen Reihe liefert die maclaurinsche Formel als Spezialfall der Taylor-Formel :
f
(
x
)
=
f
(
0
)
+
f
′
(
0
)
⋅
x
+
f
″
(
0
)
2
!
x
2
+
⋯
+
f
(
n
)
(
0
)
n
!
x
n
+
R
n
{\displaystyle f(x)=f(0)+f'(0)\cdot x+{\frac {f''(0)}{2!}}x^{2}+\dots +{\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}x^{n}+R_{n}}
mit dem Restglied
R
n
=
x
n
+
1
(
n
+
1
)
!
f
(
n
+
1
)
(
θ
x
)
0
<
θ
<
1
{\displaystyle R_{n}={\frac {x^{n+1}}{(n+1)!}}f^{(n+1)}(\theta x)\qquad 0<\theta <1}
oder alternativ
R
n
=
1
n
!
∫
0
x
(
x
−
t
)
n
f
(
n
+
1
)
(
t
)
d
t
.
{\displaystyle R_{n}={\frac {1}{n!}}\int \limits _{0}^{x}(x-t)^{n}f^{(n+1)}(t)\mathrm {d} t.}
Die Konvergenz der Maclaurinschen Reihe kann durch Untersuchung des Restgliedes
R
n
{\displaystyle R_{n}}
Konvergenzradius nachgewiesen werden. Im letzteren Falle kann es jedoch vorkommen, dass die Reihe zwar konvergiert, ihre Summe aber ungleich
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
f
(
x
)
=
exp
(
−
1
/
x
2
)
{\displaystyle f(x)=\exp(-1/x^{2})}
f
(
0
)
=
0
{\displaystyle f(0)=0}
f
(
x
)
≠
0
{\displaystyle f(x)\not =0}
x
≠
0.
{\displaystyle x\not =0.}
[1]
Für Funktionen, die bei
x
=
0
{\displaystyle x=0}
f
(
x
)
=
1
x
{\displaystyle f(x)={\tfrac {1}{x}}}
x
=
0
{\displaystyle x=0}
f
(
x
)
=
x
x
{\displaystyle f(x)=x{\sqrt {x}}}
keine maclaurinsche Reihe entwickeln.
sin
(
x
)
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
x
2
n
+
1
(
2
n
+
1
)
!
=
x
1
!
−
x
3
3
!
+
x
5
5
!
−
…
=
x
−
x
3
6
+
x
5
120
−
…
{\displaystyle \sin(x)=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}={\frac {x}{1!}}-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\ldots =x-{\frac {x^{3}}{6}}+{\frac {x^{5}}{120}}-\ldots }
e
x
=
∑
n
=
0
∞
x
n
n
!
=
1
+
x
+
x
2
2
!
+
x
3
3
!
+
x
4
4
!
+
⋯
=
1
+
x
+
1
2
x
2
+
1
6
x
3
+
1
24
x
4
+
…
{\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\dots =1+x+{\frac {1}{2}}x^{2}+{\frac {1}{6}}x^{3}+{\frac {1}{24}}x^{4}+\dots }
artanh
(
x
)
=
∑
n
=
0
∞
1
2
n
+
1
x
2
n
+
1
{\displaystyle {\text{artanh}}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2n+1}}x^{2n+1}}
arcsin
(
x
)
=
∑
n
=
0
∞
(
2
n
)
!
4
n
(
n
!
)
2
(
2
n
+
1
)
x
2
n
+
1
{\displaystyle \arcsin(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}}
exp
[
exp
(
x
)
−
1
]
=
∑
n
=
0
∞
B
n
n
!
x
n
{\displaystyle \exp[\exp(x)-1]=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B_{n}}{n!}}x^{n}}
I
0
(
x
)
=
∑
n
=
0
∞
x
2
n
4
n
(
n
!
)
2
=
∫
0
1
2
cosh
(
x
y
)
π
1
−
y
2
d
y
{\displaystyle \mathrm {I} _{0}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{4^{n}(n!)^{2}}}=\int _{0}^{1}{\frac {2\cosh(xy)}{\pi {\sqrt {1-y^{2}}}}}\,\mathrm {d} y}
J
0
(
x
)
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
x
2
n
4
n
(
n
!
)
2
=
∫
0
1
2
cos
(
x
y
)
π
1
−
y
2
d
y
{\displaystyle \mathrm {J} _{0}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{4^{n}(n!)^{2}}}=\int _{0}^{1}{\frac {2\cos(xy)}{\pi {\sqrt {1-y^{2}}}}}\,\mathrm {d} y}
χ
2
(
x
)
=
∑
n
=
0
∞
1
(
2
n
+
1
)
2
x
2
n
+
1
=
∫
0
1
arcsin
(
x
y
)
1
−
y
2
d
y
{\displaystyle \chi _{2}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)^{2}}}x^{2n+1}=\int _{0}^{1}{\frac {\arcsin(xy)}{\sqrt {1-y^{2}}}}\,\mathrm {d} y}
2
π
K
(
x
)
=
∑
n
=
0
∞
[
(
2
n
)
!
]
2
16
n
(
n
!
)
4
x
2
n
=
∫
0
1
2
π
(
1
−
x
2
y
2
)
(
1
−
y
2
)
d
y
{\displaystyle {\frac {2}{\pi }}K(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {[(2n)!]^{2}}{16^{n}(n!)^{4}}}x^{2n}=\int _{0}^{1}{\frac {2}{\pi {\sqrt {(1-x^{2}y^{2})(1-y^{2})}}}}\,\mathrm {d} y}
ϑ
00
(
x
)
−
1
/
6
ϑ
01
(
x
)
−
2
/
3
[
ϑ
00
(
x
)
4
−
ϑ
01
(
x
)
4
16
x
]
−
1
/
24
=
∑
n
=
0
∞
P
(
n
)
x
n
{\displaystyle \vartheta _{00}(x)^{-1/6}\vartheta _{01}(x)^{-2/3}{\biggl [}{\frac {\vartheta _{00}(x)^{4}-\vartheta _{01}(x)^{4}}{16\,x}}{\biggr ]}^{-1/24}=\sum _{n=0}^{\infty }P(n)x^{n}}
Erzeugende Funktion der strikten Partitionszahlenfolge Q(n):
ϑ
00
(
x
)
1
/
6
ϑ
01
(
x
)
−
1
/
3
[
ϑ
00
(
x
)
4
−
ϑ
01
(
x
)
4
16
x
]
1
/
24
=
∑
n
=
0
∞
Q
(
n
)
x
n
{\displaystyle \vartheta _{00}(x)^{1/6}\vartheta _{01}(x)^{-1/3}{\biggl [}{\frac {\vartheta _{00}(x)^{4}-\vartheta _{01}(x)^{4}}{16\,x}}{\biggr ]}^{1/24}=\sum _{n=0}^{\infty }Q(n)x^{n}}
Mit dem Buchstaben ϑ werden die sogenannten Theta-Nullwertfunktionen ausgedrückt.
Jede Taylorreihe, auch solche mit Entwicklungsstelle
x
0
≠
0
{\displaystyle x_{0}\neq 0}
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
f
(
x
0
+
x
)
{\displaystyle f(x_{0}+x)}
Substitution ):
f
(
x
0
+
x
)
=
∑
n
=
0
∞
f
(
n
)
(
x
0
)
n
!
[
(
x
0
+
x
)
−
x
0
]
n
=
∑
n
=
0
∞
f
(
n
)
(
x
0
)
n
!
x
n
.
{\displaystyle f(x_{0}+x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(x_{0})}{n!}}[(x_{0}+x)-x_{0}]^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(x_{0})}{n!}}x^{n}.}
Durch die Verschiebung um
−
x
0
{\displaystyle -x_{0}}
Beispiel: Die Taylorreihe zur natürlichen Logarithmusfunktion
ln
(
x
)
{\displaystyle \ln(x)}
ln
(
x
)
=
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
−
1
n
(
x
−
1
)
n
,
{\displaystyle \ln(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{n}}(x-1)^{n},}
entspricht der Maclaurin-Reihe zu
ln
(
x
+
1
)
.
{\displaystyle \ln(x+1).}
ln
(
x
+
1
)
=
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
−
1
n
x
n
=
x
−
x
2
2
+
x
3
3
−
x
4
4
+
⋯
.
{\displaystyle \ln(x+1)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{n}}x^{n}=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+\cdots .}
↑ I. Bronstein, K. Semendjajew et al.: Taschenbuch der Mathematik . Verlag Harri Deutsch, Frankfurt am Main 2005, ISBN 3-8171-2006-0 , S. 434.
![{\displaystyle \exp[\exp(x)-1]=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B_{n}}{n!}}x^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/103a0b8da090bd1206e8eeda3c0ab2bcef603602)
![{\displaystyle {\frac {2}{\pi }}K(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {[(2n)!]^{2}}{16^{n}(n!)^{4}}}x^{2n}=\int _{0}^{1}{\frac {2}{\pi {\sqrt {(1-x^{2}y^{2})(1-y^{2})}}}}\,\mathrm {d} y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a619ff8426990c5e2b0cd11c2d5902a9ec79d011)
![{\displaystyle \vartheta _{00}(x)^{-1/6}\vartheta _{01}(x)^{-2/3}{\biggl [}{\frac {\vartheta _{00}(x)^{4}-\vartheta _{01}(x)^{4}}{16\,x}}{\biggr ]}^{-1/24}=\sum _{n=0}^{\infty }P(n)x^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4255231e217eadfc2ad6f343812a280d9f4e79d4)
![{\displaystyle \vartheta _{00}(x)^{1/6}\vartheta _{01}(x)^{-1/3}{\biggl [}{\frac {\vartheta _{00}(x)^{4}-\vartheta _{01}(x)^{4}}{16\,x}}{\biggr ]}^{1/24}=\sum _{n=0}^{\infty }Q(n)x^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64ca86e235a60d249ba729906a5bc7ce22143ac3)
![{\displaystyle f(x_{0}+x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(x_{0})}{n!}}[(x_{0}+x)-x_{0}]^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(x_{0})}{n!}}x^{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3940bea4c04b29b99ee70f5178e28697bb3aa49a)
