Bellsche Zahl

Die Bellsche Zahl, Bellzahl oder Exponentialzahl $B_n$ ist die Anzahl der Partitionen einer n-elementigen Menge. Benannt ist sie nach dem Mathematiker Eric Temple Bell. Die Folge B₀, B₁, B₂, B₃, … beginnt mit

1, 1, 2, 5, 15, 52, 203, 877, 4140, 21147, 115975, 678570, … (Folge A000110 in OEIS)

Eigenschaften

Für die Bellschen Zahlen gelten die Rekursionsformel

$B_{n+1} = \sum_{k=0}^{n}{{n \choose k}B_k}$

und die Formel (Dobiński 1877)

$B_n = \frac{1}{e} \sum_{k=0}^\infty \frac{k^n}{k!}\,,$

somit ist $B_n$ auch das $n$-te Moment einer Poisson-Verteilung mit Erwartungswert 1.

Die erzeugende Funktion der Bellzahlen ist

$\sum_{n=0}^\infty B_n\,x^n = \frac{1}{e} \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!\,(1 - k x)}\,,$

die exponentiell erzeugende Funktion ist

$\sum_{n=0}^\infty \frac{B_n}{n!}\,x^n = e^{e^x-1}\,.$

Außerdem genügen die Bellzahlen der Kongruenz (Touchard 1933)

$B_{p^k + n} \equiv k\,B_n + B_{n+1} \ (\text{mod }p)$

für natürliche Zahlen $k$ und Primzahlen $p$, insbesondere $B_{p^k} \equiv k + 1 \ (\text{mod }p)$ und $B_p \equiv 2 \ (\text{mod }p)$ und, nach Iteration,

$B_{1 + p + \ldots + p^{p-1} + n} \equiv B_n \ (\text{mod }p).$

Es wird vermutet, dass $1 + p + ... + p^{p-1}$ die kleinste Periode von $B_n \ (\text{mod }p)$ ist. Für Primzahlen $p > 2$ ist

$B_{p^{k+1} n} \equiv B_{p^k n + 1} \ (\text{mod }p^{k+1}),$

für $p = 2$ gilt die Kongruenz $(\text{mod }p^k)$.

Da die Stirling-Zahl $S(n, k)$ zweiter Art die Anzahl der $k$-Partitionen einer $n$-elementigen Menge ist, gilt

$B_n = \sum_{k=0}^n S(n,k).$

Asymptotik

Für die Bellzahlen sind verschiedene asymptotische Formeln bekannt, etwa

$B_n \sim n^{-1/2}\ \bigl(\lambda(n)\bigr)^{n + 1/2}\ e^{\lambda(n) - n - 1}$     mit     $\lambda(n) = e^{W(n)} = \frac{n}{W(n)}$

mit der Lambert-W-Funktion $W$.

Literatur

• Eric Temple Bell: Exponential Numbers, The American Mathematical Monthly 41, 1934, S. 411–419
• Jacques Touchard: Nombres exponentiels et nombres de Bernoulli, Canadian Journal of Mathematics 8, 1956, S. 305–320 (französisch)

Weblinks

• Eric W. Weisstein, Bell Number und Dobiński’s Formula. Auf MathWorld. (englisch)
• Bell numbers bei The Wolfram Functions Site (englisch; mit Berechnungsmöglichkeit)
• Set Partitions: Bell Numbers in der NIST Digital Library of Mathematical Functions (englisch)
• Peter Luschny, Set partitions and Bell numbers (englisch). Eine Zusammenfassung von OEIS-Folgen zu den Bellzahlen im OEIS Wiki.