Bellsche Zahl

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Die Bellsche Zahl oder Bellzahl Bn ist die Anzahl der Partitionen einer n-elementigen Menge. Benannt ist sie nach dem Mathematiker Eric Temple Bell. Es ist

B_0=1, \quad B_1=1, \quad B_2=2, \quad B_3=5, \quad B_4=15, \quad B_5=52, \quad B_6=203, \quad \ldots

Inhaltsverzeichnis

[Bearbeiten] Eigenschaften

Da die Stirling-Zahl S(n,k) zweiter Art die Anzahl der k-Partitionen einer n-elementigen Menge ist, gilt

B_n = \sum_{k=0}^n S(n,k).

Für die Bellschen Zahlen gelten die Rekursionsformel

B_{n+1} = \sum_{k=0}^{n}{{n \choose k}B_k}

und Dobinskis Formel ((en))

B_n = \frac{1}{e}\sum_{k=0}^\infty \frac{k^n}{k!},

somit ist Bn auch das n-te Moment einer Poissonverteilung mit Erwartungswert 1.

Die exponentiell erzeugende Funktion der Bellzahlen ist \sum_{n=0}^\infty \frac{B_n}{n!} x^n = e^{e^x-1}.

Außerdem genügen die Bellzahlen Touchards Kongruenz:

Wenn p eine Primzahl ist, dann ist B_{p+n} \equiv B_n+B_{n+1}\ (\operatorname{mod}\ p).

[Bearbeiten] Asymptotik

Für die Bellzahlen sind verschiedene asymptotische Formeln bekannnt, etwa

B_n \sim \frac{1}{{\sqrt n }}\left[ {\lambda \left( n \right)} \right]^{n + \frac{1}{2}} e^{\lambda \left( n \right) - n - 1}.

mit

\lambda(n) := e^{W(n)} = \frac{n}{W(n)},

wobei W die Lambert-W-Funktion ist.

[Bearbeiten] Literatur

  • G. Dobinski: Summirung der Reihe Σ nm/ n! für m = 1, 2, 3, …, Grunert Archiv 61, 1877, S. 333–336

[Bearbeiten] Weblinks

Von „http://de.wikipedia.org/wiki/Bellsche_Zahl“
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