Die Meixner-Polynome sind diskrete orthogonale Polynome . Sie sind nach dem deutschen Physiker Josef Meixner benannt. Sie sind gerade orthogonal bezüglich der negativen Binomialverteilung .[1]
Notation:
Für
n
>
0
{\displaystyle n>0}
Pochhammer-Symbol
(
a
)
n
=
a
(
a
+
1
)
⋯
(
a
+
n
−
1
)
,
{\displaystyle (a)_{n}=a(a+1)\cdots (a+n-1),}
und definiere die Gaußsche hypergeometrische Funktion
2
F
1
(
a
1
,
a
2
b
|
c
)
:=
∑
n
=
0
∞
(
a
1
)
n
(
a
2
)
n
(
b
)
n
c
n
n
!
.
{\displaystyle {}_{2}F_{1}\left({\begin{matrix}a_{1},a_{2}\\b\end{matrix}}{\bigg \vert }c\right):=\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\frac {(a_{1})_{n}(a_{2})_{n}}{(b)_{n}}}{\frac {c^{n}}{n!}}.}
Die Meixner-Polynome
M
n
(
x
;
β
,
c
)
{\displaystyle M_{n}(x;\beta ,c)}
M
n
(
x
;
β
,
c
)
=
2
F
1
(
−
n
,
−
x
β
|
1
−
1
c
)
.
{\displaystyle M_{n}(x;\beta ,c)={}_{2}F_{1}\left({\begin{matrix}-n,-x\\\beta \end{matrix}}{\bigg \vert }1-{\frac {1}{c}}\right).}
Für
β
>
0
{\displaystyle \beta >0}
0
<
c
<
1
{\displaystyle 0<c<1}
N
0
{\displaystyle \mathbb {N} _{0}}
w
(
x
;
β
,
c
)
=
(
β
)
x
x
!
c
x
,
x
=
0
,
1
,
2
,
…
,
{\displaystyle w(x;\beta ,c)={\frac {(\beta )_{x}}{x!}}c^{x},\qquad x=0,1,2,\dots ,}
das heißt
∑
x
=
0
∞
M
n
(
x
;
β
,
c
)
M
m
(
x
;
β
,
c
)
(
β
)
x
x
!
c
x
=
n
!
(
1
−
c
)
−
β
c
n
(
β
)
n
δ
m
n
{\displaystyle \sum \limits _{x=0}^{\infty }M_{n}(x;\beta ,c)M_{m}(x;\beta ,c){\frac {(\beta )_{x}}{x!}}c^{x}={\frac {n!(1-c)^{-\beta }}{c^{n}(\beta )_{n}}}\delta _{mn}}
Die Meixner-Polynome genügen folgender Drei-Term-Rekursion
−
x
M
n
(
x
;
β
,
c
)
=
c
(
β
+
n
)
1
−
c
M
n
+
1
(
x
;
β
,
c
)
−
n
+
c
(
β
+
n
)
1
−
c
M
n
(
x
;
β
,
c
)
+
n
1
−
c
M
n
−
1
(
x
;
β
,
c
)
.
{\displaystyle -xM_{n}(x;\beta ,c)={\frac {c(\beta +n)}{1-c}}M_{n+1}(x;\beta ,c)-{\frac {n+c(\beta +n)}{1-c}}M_{n}(x;\beta ,c)+{\frac {n}{1-c}}M_{n-1}(x;\beta ,c).}
Die erzeugende Funktion ist
∑
n
=
0
∞
(
β
)
n
n
!
M
n
(
x
;
β
,
c
)
t
n
=
(
1
−
t
/
c
)
x
(
1
−
t
)
−
x
−
β
.
{\displaystyle \sum \limits _{n=0}^{\infty }{\frac {(\beta )_{n}}{n!}}M_{n}(x;\beta ,c)t^{n}=(1-t/c)^{x}(1-t)^{-x-\beta }.}
Es gilt
lim
c
→
1
−
M
n
(
x
/
(
1
−
c
)
;
α
+
1
,
c
)
=
n
!
(
α
+
1
)
n
L
n
(
α
)
(
x
)
.
{\displaystyle \lim \limits _{c\to 1^{-}}M_{n}(x/(1-c);\alpha +1,c)={\frac {n!}{(\alpha +1)_{n}}}L_{n}^{(\alpha )}(x).}
wobei
L
n
(
α
)
(
x
)
{\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(x)}
verallgemeinerten Laguerre-Polynome sind.
Es gilt
lim
β
→
∞
M
n
(
x
;
β
,
a
/
(
β
+
a
)
)
=
C
n
(
x
;
a
)
,
{\displaystyle \lim \limits _{\beta \to \infty }M_{n}(x;\beta ,a/(\beta +a))=C_{n}(x;a),}
wobei
C
n
(
x
;
a
)
:=
2
F
0
(
−
n
,
−
x
−
|
−
1
a
)
{\displaystyle C_{n}(x;a):={}_{2}F_{0}\left({\begin{matrix}-n,-x\\-\end{matrix}}{\bigg \vert }-{\frac {1}{a}}\right)}
Charlier-Polynome genannt werden.
Mourad E.H. Ismail: Classical and Quantum Orthogonal Polynomials in One Variable . Hrsg.: Cambridge University Press. 2005, ISBN 978-1-107-32598-2 .
↑ Mourad E.H. Ismail: Classical and Quantum Orthogonal Polynomials in One Variable . Hrsg.: Cambridge University Press. 2005, ISBN 978-1-107-32598-2 (Kapitel 6.1).
