Mischungskreuz

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Das Mischungskreuz (auch Andreaskreuz genannt) ist eine mathematische Methode, um Konzentrationen und Mengenverhältnisse in Flüssigkeiten oder Mischungen aus festen Komponenten zu errechnen. Dies kommt beim Mischen gelöster Stoffe (z. B. Säuren, Salze oder Laugen) mit unterschiedlichen Ausgangskonzentrationen vor, oder bei Berechnungen, welche Mengen an festen Stoffen (z. B. Mehl, Gebäck) zu einer gewünschten Mischung vermengt werden müssen. Das Mischungskreuz ist eine Anwendung des Massenerhaltungssatzes bzw. der Erhaltung der Stoffmenge. Das analoge Vorgehen zur Bestimmung von Mischtemperaturen wird Richmannschen Mischungsregel genannt.

Die Berechnungen über das Mischungskreuz funktionieren nur mit Massen oder Stoffmengen. Wenn man mit Volumina rechnen möchte, muss man vorher die einzelnen Volumina mit Hilfe der Dichte in eine Masse umrechnen. Man erhält dann als Ergebnis eine Masse. Diese lässt sich mit der Dichte (bzw. über eine Prozentrechnung) wieder in ein Volumen umrechnen (Dichte = Masse/Volumen in [g/ml] oder [kg/l]).

Prinzip[Bearbeiten]

Das Mischungskreuz ist eine Methode, mit der man die Massenanteile berechnen kann, die man benötigt, um aus zwei Stammlösungen, d. h. Lösungen mit bekannten Konzentrationen, eine Lösung mit einer bestimmten Zielkonzentration zu erzeugen. Da die Stoffmenge eines gelösten Stoffs bei einer Verdünnung konstant bleibt, gilt – unter der Voraussetzung, dass die Konzentration des gelösten Stoffes im Verdünnungsmittel null ist – dass das Produkt aus Konzentration c und Volumen V (als eine Definition der Stoffmenge) eines gelösten Stoffes konstant bleibt:

 c_1 V_1 = c_2 V_2

Der Index 1 bezeichnet dabei den Ausgangszustand, der Index 2 den Endzustand. Ist der betrachtete Stoff in beiden Lösungen A und B vorhanden, so gilt:

 c_{A1} V_{A1} + c_{B1} V_{B1} = c_2 V_2

Schema[Bearbeiten]

Schema Mischungkreuz am Beispiel einer Weizenmischung

Vereinfacht ausgedrückt gibt es in jedem Mischungskreuz eine „Gewinnsorte“ und eine „Verlustsorte“ gegenüber der gewünschten Mischung – sie stehen auf der linken Seite. Die gewünschte Mischung steht immer in der Mitte. Ziel der Berechnung ist es, zu ermitteln, mit welchen Massenanteilen (sie werden auf der rechten Seite errechnet) der beiden Mischungspartner der Gewinn und Verlust gegenüber der Mischung ausgeglichen werden kann. Da sich die Massenanteile umgekehrt proportional zu Gewinn und Verlust verhalten, ergibt sich schematisch die „Berechnung über Kreuz“.

Beispiel: Zwei Posten Weizen sollen so gemischt werden, dass eine Dezitonne der Mischung für 49 € verkauft werden kann. Der Verkaufspreis für Sorte A beträgt 52 €/dt, der für Sorte B beträgt 45 €/dt. a) In welchem Verhältnis müssen die beiden Sorten gemischt werden? b) Wie viel dt müssen von jeder Sorte genommen werden, wenn insgesamt 24 dt Mischung benötigt werden? Lösung a) Das Mischungsverhältnis ist 4:3. Die Mischung demnach 7 Teile. Lösung b) 7 Teile entsprechen 24 dt. 4 Teile von Sorte A sind demnach \tfrac{24}{7} \cdot 3 = 10,29 dt. 3 Teile von Sorte B sind \tfrac{24}{7} \cdot 4 = 13,71 dt. Beide Anteile ergeben zusammen 24 dt.

Anwendungen[Bearbeiten]

Mischen von Flüssigkeiten[Bearbeiten]

Mischungskreuz

Auf der linken Seite des Mischungskreuzes werden die bekannten Ausgangskonzentrationen der Flüssigkeiten eingetragen. An den Kreuzungspunkt schreibt man die gewünschte Zielkonzentration der Mischung. Nun bildet man die Differenz aus der bekannten Konzentration links oben und der gewünschten Zielkonzentration in der Mitte und notiert das Ergebnis rechts unten. Dann bildet man die Differenz aus der bekannten Konzentration links unten und der gewünschten Zielkonzentration in der Mitte und schreibt das Ergebnis rechts oben auf. Negative Ergebnisse werden ohne Vorzeichen notiert (Betragsrechnung). Auf der rechten Seite des Mischungskreuzes erhält man dann als Ergebnis die „Anteile an der Gesamtmasse“ (nicht am Volumen!), mit denen man die gewünschte Zielkonzentration herstellen kann.

Beispielrechnung 1 (Mischen mit reinem Wasser):
Es soll eine 35-prozentige Säure mit Wasser so gemischt werden, dass sich eine Ziellösung von 6 % Säureanteil ergibt. Wie viel Wasser und wie viel Säure werden benötigt?

Die Ausgangskonzentrationen auf der linken Seite sind 35 % für die Säure und 0 % für das Wasser, in der Mitte steht die gewünschte Zielkonzentration, in diesem Fall 6 %


\begin{array}{ccccc}

 \text{35}              & {}                 & {}                    & {}                 & \vert 0 - 6 \vert  = 6        \\
 {}                     & \diagdown          & {}                    & \nearrow           & {}                            \\
 {}                     & {}                 & \text{6}              & {}                 & {}                            \\
 {}                     & \diagup            & {}                    & \searrow           & {}                            \\
 \text{0}               & {}                 & {}                    & {}                 & \vert 35 - 6 \vert  = 29
\end{array}
  • 35 – 6 ergeben 29 Teile,
  • 6 – 0 ergeben 6 Teile,

insgesamt sind es 35 Gesamtteile. Es werden folglich 6 Teile der 35-prozentigen Säure und 29 Teile Wasser benötigt, um eine 6-prozentige Säure herzustellen.

Sollen 1000 g einer 6-prozentigen Ziellösung hergestellt werden, benötigt man demnach:

  • 35-prozentige Säure: [1000 g / 35] * 6 = 171 g
  • Wasser: [1000 g / 35] * 29 = 829 g

Beispielrechnung 2 (Mischen mit einer zweiten Säuremischung):
An Stelle von 0 % (für die Konzentration von Wasser) könnte links auch ein Wert für eine 15-prozentige Säure stehen:


\begin{array}{ccccc}

 \text{35}              & {}                 & {}                    & {}                 & \vert 15 - 22 \vert  = 7        \\
 {}                     & \diagdown          & {}                    & \nearrow           & {}                            \\
 {}                     & {}                 & \text{22}             & {}                 & {}                            \\
 {}                     & \diagup            & {}                    & \searrow           & {}                            \\
 \text{15}              & {}                 & {}                    & {}                 & \vert 35 - 22 \vert  = 13
\end{array}

Bei einer Zielkonzentration von 22 % müssten dann

  • 22 – 15 = 7 Teile 35-prozentige Säure und
  • 35 – 22 = 13 Teile 15-prozentige Säure

gemischt werden.

Legierungen[Bearbeiten]

Das Mischungskreuz eignet sich auch zur näherungsweisen Berechnung der Masseanteile in Legierungen von Metallen, z.B. der Anteile von Zink und Kupfer in einer Messinglegierung. Wegen der Kristallgitterstruktur von Metallen ergibt die Berechnung mit dem Mischungskreuz nur ungefähre Werte. Die Formeln zur genauen Berechnung finden sich im Artikel Stoffmengenanteil.

Beispielrechnung:

Für die Dichte einer Messinglegierung wurde durch Wägen und Volumenberechnung der
Wert 8,32 g/cm³ ermittelt. 
Reines Zink besitzt nach Tabelle eine Dichte von 6,97 g/cm³ und Kupfer eine Dichte von 8,61 g/cm³. 
Auf der linken Seite des Mischungskreuzes setzt man die "Ausgangskonzentrationen" 
6,97 (für reines Zink) und 8,61 (für reines Kupfer) ein. 
In die Mitte setzt man den Mischungswert 8,32 für Messing als Zielzahl ein.
Nun wird diagonal subtrahiert:
Subtrahiert man 8,32 von 8,61 ergibt sich 0,29 -- sind 29 Teile Zink
Subtrahiert man 8,32 von 6,97 ergibt sich 1,35 -- sind 135 Teile Kupfer.
29 Teile + 135 Teile = 164 Teile = Gesamtmasse = 100 %
29 Teile entsprechen somit 17,7 % (=Zink). 135 Teile entsprechen 82,3 % (= Kupfer)
Die vorhandene Messinglegierung besteht demnach aus ca. 18 % Zink und 82 % Kupfer.

Mischkalkulation[Bearbeiten]

Mischungskreuz

Das Mischungskreuz eignet sich auch zur Berechnung von Mischungsverhältnissen im kaufmännischen Kontext.

Beispielrechnung: Teesorte 1 kostet 2,60 Euro pro 100 g, Teesorte 2 kostet 3,70 Euro pro 100 g. Berechnen Sie ein Mischungsverhältnis für eine Teemischung vom Preis 3,40 Euro pro 100 g.

  • Subtrahiert man 2,60 von 3,40 ergibt sich 0,80 — sind 8 Teile Teesorte 2
  • Subtrahiert man 3,40 von 3,70 ergibt sich 0,30 — sind 3 Teile Teesorte 1

8 Teile + 3 Teile sind 11 Teile. Man kann beispielsweise 800 g Teesorte 2 und 300 g Teesorte 1 zu 1,1 kg Teemischung zum Preis 3,40 Euro pro 100 g mischen.

8 Teile entsprechen somit ca. 73 % Teesorte 2; 3 Teile entsprechen ca. 27 % Teesorte 1.

Literatur[Bearbeiten]