Molmassenverteilung

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Die Molmassenverteilung (oft MWD, molecular weight distribution) bezeichnet für einen bestimmten Stoff die Verteilung, sprich die anteilsmäßige Aufteilung der molaren Masse der enthaltenen Moleküle. Der Begriff wird bei Polymeren angewandt, da deren Polymerisationsgrade (und somit auch deren Molmassen) über einen mehr oder weniger breiten Bereich verteilt sind. Bei bestimmten Biopolymeren gibt es nur eine definierte molare Masse. Weitverbreitet ist auch die Bezeichnung Molekulargewichtsverteilung, diese ist aber nicht korrekt (siehe Anmerkung hier).

Verteilungsfunktionen[Bearbeiten]

Entsprechend den Verteilungsfunktionen aus der Mathematik bzw. den physikalisch-chemischen Gegebenheiten bei der Herstellung des Polymers ergeben sich verschiedene mögliche Verteilungsfunktionen:

In der Praxis können natürlich auch von diesen theoretischen Modellen abweichende Verteilungen auftauchen. Oft findet man die Bezeichnungen:

  • enge Molmassenverteilung
geringe Anzahl von Fraktionen und hohe Anzahl der Moleküle pro Fraktion bzw. relativ wenige und geringe Abweichungen vom Mittelwert, d. h. hohe Einheitlichkeit (meist wünschenswert);
  • breite Molmassenverteilung
viele Fraktionen und kleine Anzahl der Moleküle pro Fraktion oder unregelmäßige Verteilung der Moleküle pro Fraktion bzw. relativ viele und hohe Abweichungen vom Mittelwert, d. h. hohe Uneinheitlichkeit (meist unerwünscht).

Molmasse von Polymeren[Bearbeiten]

Typische Molmassenverteilung eines synthetischen Polymers

Es werden verschiedene Mittelwerte definiert, um die Probe statistisch zu beschreiben:

  • Zahlenmittel der Molmasse

Die Molmasse M_{i} des i-mers wird mit dem relativen Zahlenanteil, den dieses Polymer hat, gewichtet. Die zahlenmittlere Molmasse sagt also aus, welche Molmasse ein zufälliges aus der Probe entnommenes Molekül im Durchschnitt hat. Dabei entspricht n_{i} der Zahl an Makromolekülen in der Probe mit genau i Repetiereinheiten.

 \overline {M}_n = \frac {\sum_{i=1}^f N_i M_i } {\sum_{i=1}^f N_i } = \frac{\sum_{i=1}^\infty n_{i} \cdot M_{i} }{\sum_{i=1}^\infty n_{i}}
= \sum_{i=1}^\infty x_{i} \cdot M_{i} = \frac{m}{n}
  • Massenmittel der Molmasse

Die Molmasse M_{i} des i-mers wird mit dem relativen Massenanteil, den dieses Polymer hat, gewichtet. Würde man eine zufällige Monomereinheit auswählen und die Molmasse des dazugehörigen Polymers bestimmen, erhielte man als Durchschnitt die gewichtsmittlere Molmasse.

 \overline {M}_w = \frac {\sum_{i=1}^f m_i M_i } {\sum_{i=1}^f m_i } = \frac {\sum_{i=1}^f N_i M_i^2 } {\sum_{i=1}^f N_i M_i } = \frac{\sum_{i=1}^\infty n_{i} \cdot M_{i}^2 }{\sum_{i=1}^\infty n_{i} \cdot M_{i}}
= \frac{\sum_{i=1}^\infty x_{i} \cdot M_{i}^2 }{\sum_{i=1}^\infty x_{i} \cdot M_{i}} = \sum_{i=1}^\infty w_{i} \cdot M_{i}
  • Zentrifugenmittel der Molmasse (Z-Mittel)
 \overline {M}_z = \frac{\sum_{i=1}^\infty n_{i} \cdot M_{i}^3 }{\sum_{i=1}^\infty n_{i} \cdot M_{i}^2} = \frac{\sum_{i=1}^\infty x_{i} \cdot M_{i}^3 }{\sum_{i=1}^\infty x_{i} \cdot M_{i}^2} = \frac{\sum_{i=1}^\infty w_{i} \cdot M_{i}^2 }{\sum_{i=1}^\infty w_{i} \cdot M_{i}}
  • Viskositätmittel der Molmasse
 \overline {M}_{ \eta } = \left( \frac{\sum_{i=1}^f N_i M_i^{(1+ \alpha)} }{\sum_{i=1}^fN_i M_i} \right)^{\frac{1}{\alpha}}

 \alpha kann Werte zwischen 0 und 1 annehmen.

 M_{\mathrm {Mono}} : Molare Masse des Monomers
 M_i : Molare Masse der Polymere der jeweiligen Fraktion i
 m_i : Gesamtmasse der jeweiligen Fraktion i
 N_i : Anzahl der Makromoleküle in der Fraktion i
 f : Gesamtanzahl aller Fraktionen
n_{i} [m_{i}] = Stoffmenge [Masse] des i-mers; n [m] = Summe aller n_{i} [m_{i}]
x_{i} = Molenbruch des i-mers
M_{i} = Molmasse des i-mers, M_{i} = i\cdotM_{0}
M_{0} [n_{0}] = mittlere Molmasse [Stoffmenge] einer monomeren Einheit
w_{i} = Massenanteil des i-mers
w_{i} = \frac{m_{i}}{\sum_{i=1}^\infty m_{i}} = x_{i} \cdot \frac{M_{i}}{\bar M_n} = i \cdot x_{i} \cdot \frac{n}{n_0}

Bestimmungsmethoden[Bearbeiten]

Folgende Analysenmethoden haben sich zur Bestimmung der Molmassenverteilung bewährt:

Die GPC und die Zentrifugation werden auch zur präparativen Polymerfraktionierung eingesetzt.

Polydispersität[Bearbeiten]

Physikalische, mechanische und rheologische Eigenschaften werden oft durch die Polymolekularität (das Verhältnis von Gewichtsmittel zu Zahlenmittel) bestimmt.
Dieses Verhältnis wird auch Polydispersität Q genannt und ist ein Maß für die Breite einer Molmassenverteilung (MMV). Je größer Q, desto breiter ist die MMV.

Q = \frac{\overline {M}_w}{\overline {M}_n} \ge 1

Im Fall, dass Q = 1 ist, gilt:

\overline {M}_n = \overline {M}_w = \overline {M}_z

Zutreffen wird dieses, wenn die Makromoleküle biologischen Ursprungs sind, z. B. Proteine, Polysaccharide, DNA, die alle die gleiche Molmasse haben.
Für synthetische Polymere hingegen gilt:

\overline {M}_n < \overline {M}_{ \eta } < \overline {M}_w < \overline {M}_z

Das Verhältnis aus Zahlenmittel \overline {M}_n und der mittleren Molmasse einer monomeren Einheit M_{0} gibt den Polymerisationsgrad P_{n} an. Er beschreibt, wie viele monomere Einheiten zu einem Polymer reagiert haben.

P_{n} = \frac{\overline {M}_n}{M_0}

Mittlerer Polymerisationsgrad[Bearbeiten]

Allgemein erhält man den mittleren Polymerisationsgrad durch Division der mittleren molaren Masse durch die molare Masse des Monomeren.

Bei nicht radikalischer Polymerisation muss beachtet werden, ob und welche Gruppen bei der Bindung eines Monomeren abgespalten werden, und dies muss in den Berechnungen berücksichtigt werden.

Ebenso gelten die folgenden Formeln nicht für Copolymerisationen.

Zahlenmittel[Bearbeiten]

 \overline {X}_n = \frac {\sum_{i=1}^f N_i M_i } {\sum_{i=1}^f N_i } \cdot \frac {1} {M_{\mathrm {Mono}}} = \frac { \overline {M}_n } {M_{\mathrm {Mono}}}

Gewichtsmittel[Bearbeiten]

 \overline {X}_w = \frac {\sum_{i=1}^f m_i M_i } {\sum_{i=1}^f m_i } \cdot \frac {1} {M_{\mathrm {Mono}}} = \frac {\sum_{i=1}^f N_i M_i^2 } {\sum_{i=1}^f N_i M_i } \cdot \frac {1} {M_{\mathrm {Mono}}} = \frac { \overline {M}_w } {M_{\mathrm {Mono}}}

Viskositätsmittel[Bearbeiten]

 \overline {X}_{ \eta } = \left( \frac{\sum_{i=1}^f N_i M_i^{(1+ \alpha)} }{\sum_{i=1}^fN_i M_i} \right)^{\frac{1}{\alpha}} \cdot \frac {1} {M_{\mathrm {Mono}}} = \frac { \overline {M}_{ \eta }} {M_{\mathrm {Mono}}}

Molekulare Uneinheitlichkeit[Bearbeiten]

Die molekulare Uneinheitlichkeit U ist ein mathematisches Maß für die Uneinheitlichkeit eines Polymerisats, bzw. für die Breite der Molmassenverteilung.

 \mathrm {U} = \frac {\overline {M}_w} { \overline {M}_n } - 1

Je kleiner dieser Wert ist, umso einheitlicher ist das Polymerisat, umso enger ist die Molmassenverteilung.

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. M. D. Lechner, E. H. Nordmeier und K. Gehrke: Makromolekulare Chemie. Birkhäuser, 2010, ISBN 978-3-7643-8890-4, S. 245.
  2. Kang-Jen Liu: NMR studies of polymer solutions. VI. Molecular weight determination of poly(ethylene glycol) by NMR analysis of near-end groups. 116, Nr. 1, August 1968, S. 146–151. doi:10.1002/macp.1968.021160115.
  3. Jun-Ting Xu, Wei Jin, Zhi-Qiang Fan: Synthesis and characterization of low-molecular-weight hydrogenated polybutadiene-b-poly(ethylene glycol) block copolymers. In: Journal of Applied Polymer Science. Nr. 1, Juli 2005, S. 208. doi:10.1002/app.22060.

Literatur[Bearbeiten]

  • J. M. G. Cowie: Chemie und Physik der synthetischen Polymeren; Vieweg, 2 Ed., 1991.
  • K. Matyjaszewski, T.P. Davis: Handbook of Radical Polymerization; Wiley, 2002.
  • Bernd Tieke (2000): Makromolekulare Chemie. Eine Einführung Wiley-VCH, Weinheim. ISBN 978-3-527-29364-3.