Orthogonalsystem

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In der Linearen Algebra und der Funktionalanalysis, Teilgebieten der Mathematik, ist ein Orthogonalsystem eine Menge von Vektoren eines Vektorraums mit Skalarprodukt (Prähilbertraum), die paarweise aufeinander senkrecht stehen.

Definition[Bearbeiten]

Eine Teilmenge M eines Prähilbertraums V heißt Orthogonalsystem, wenn gilt:

  1. Je zwei verschiedene Vektoren aus M sind zueinander orthogonal: \forall v,w \in M : v \ne w \Rightarrow \langle v, w \rangle = 0
  2. Der Nullvektor ist nicht in der Menge enthalten.

Hier bezeichnet  \langle v, w \rangle das Skalarprodukt des Raums V, im euklidischen Raum also das Standardskalarprodukt.

Sind außerdem alle Vektoren aus M mit Norm 1 normiert, so spricht man von einem Orthonormalsystem.

Eigenschaften[Bearbeiten]

Beispiele[Bearbeiten]

  • Im \R^n mit dem Standardskalarprodukt ist die Standardbasis ein Orthogonalsystem
  • In L^2([0,2\pi]) bilden die Funktionen \cos(kx) ein Orthogonalsystem (Siehe auch trigonometrisches Polynom)
  • In \ell^2 mit dem Skalarprodukt (a,b) \mapsto \sum a_nb_n bilden die Folgen (0, \cdots, 0, 1, 0, \cdots) ein Orthogonalsystem
  • In dem Prähilbertraum der Polynome mit Grad kleiner gleich 5, \mathcal P^5([0,1]), versehen mit dem L^2-Skalarprodukt (a,b) \mapsto \int_0^1 ab, bilden die Funktionen
x \mapsto 1 und x \mapsto x - \frac12
ein Orthogonalsystem.

Siehe auch[Bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten]

  •  Dirk Werner: Funktionalanalysis. 6. korrigierte Auflage. Springer, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-72533-6. Kapitel V.3 (Für den unendlichdimensionalen Fall, dort finden sich auch Beweise für die Beispiele)
  •  Gerd Fischer: Lineare Algebra: Eine Einführung für Studienanfänger. 13 Auflage. Vieweg, 2002, ISBN 3-528-97217-3. (Für den endlichdimensionalen Fall, dort unter „Erzeugendensystem“)