Parallelverschiebung

Beispiel für eine Translation

Parallelverschiebung eines Dreiecks

Die Parallelverschiebung oder Translation ist eine geometrische Abbildung, die jeden Punkt der Zeichenebene oder des Raumes in derselben Richtung um dieselbe Strecke verschiebt. Sie kann durch einen Vektor, den sogenannten Verschiebungsvektor, gekennzeichnet werden.

Parallelverschiebungen gehören zu den Bewegungen, da bei ihrer Anwendung Längen und Winkel erhalten bleiben. Als Bewegungen werden sie – vor allem die Parallelverschiebungen in der Ebene – auch zu den Kongruenzabbildungen gezählt.

Verallgemeinerung

In der axiomatisch aufgebauten affinen Geometrie (synthetischen Geometrie) nennt man eine Kollineation ${\mathcal {\alpha }}$ eine Translation, wenn die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sind:

• Geraden werden auf parallele Geraden abgebildet.
• Falls überhaupt ein Punkt verändert wird, hat die Abbildung keinen Fixpunkt.

T₁:     $\forall g\in {\mathcal {G}}\colon \;\alpha (g)\parallel g$

T₂:     $\forall P\in {\mathcal {P}}\colon \;\alpha \neq \mathrm {id} \,\Rightarrow \,\alpha (P)\neq P$

(${\mathcal {P}}$ ist die Menge aller Punkte, ${\mathcal {G}}$ die Menge aller Geraden, siehe Inzidenz). Diese Translationen können zum Beispiel in einer affinen Translationsebene als Ortsvektoren der Punkte verwendet werden.

Auch hier ist eine Translation stets eine Affinität im Sinne der synthetischen Geometrie. Die Fortsetzung einer Translation im projektiven Abschluss des affinen Raumes ist eine projektive Perspektivität und also eine Projektivität.

Parallelverschiebung in der Optik

→ Hauptartikel: Planplatte

In der Optik bezeichnet man als Parallelverschiebung den Effekt, dass ein Lichtstrahl, der ein optisch dichteres Medium als Mittelpunktsstrahl durchquert, zwar ungebrochen, d. h. ohne Änderung der Ausbreitungsrichtung, seinen Weg fortsetzt, jedoch auf einer Parallelen zur Verlängerung des einfallenden Strahls.

Siehe auch

Bei der Definition des Begriffes Parallelverschiebung oder Translation werden in verschiedenen Gebieten der Geometrie und der linearen Algebra unterschiedliche Akzente gesetzt, wobei die verallgemeinerte Definition überall gültig ist. Siehe

• zum Begriff der Parallelverschiebung in der elementaren Geometrie der Zeichenebene: Kongruenzabbildung.
• zum Begriff der Parallelverschiebung im dreidimensionalen Anschauungsraum: Bewegung (Mathematik).
• zum Begriff der Translation in der synthetischen Geometrie: Affine Translationsebene.

Literatur

Parallelverschiebung in der linearen Algebra und der ebenen und räumlichen Geometrie:

• Uwe Storch, Hartmut Wiebe: Lehrbuch der Mathematik, Band II: Lineare Algebra. BI-Wissenschafts-Verlag, 1990, ISBN 3-411-14101-8

Translation in der synthetischen Geometris:

• Wendelin Degen und Lothar Profke: Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie, Teubner, Stuttgart, 1976, ISBN 3-519-02751-8
• Günter Pickert: Ebene Inzidenzgeometrie. 2. Auflage, Frankfurt am Main 1968

Weblinks

Commons: Parallelverschiebung – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

• Verschiebung und Bandornamente – Materialien zum selbständigen Arbeiten für Schüler