Probit

Ein Probit ist in der Statistik die zu einer Wahrscheinlichkeit $p\in (0,1)$ gebildete Größe $\Phi ^{-1}(p)\in \mathbb {R}$, wobei $\Phi ^{-1}$ die Umkehrfunktion der Verteilungsfunktion $\Phi$ der Standardnormalverteilung bezeichnet. Unter der Probit-Transformation versteht man die Transformation von Wahrscheinlichkeiten in Probits. Diese Transformation wird im Probit-Modell, einem speziellen verallgemeinerten linearen Modell, zur Spezifikation der Kopplungsfunktion verwendet.

Darstellung der Probit-Funktion

In der Biometrie werden in der sogenannten Probitanalyse zur Untersuchung von Dosis-Wirkung-Beziehungen die Begriffe Probit und Probit-Transformation in einer verwandten, aber abweichenden Bedeutung verwendet.

Definition

Für eine Wahrscheinlichkeit $0<p<1$ heißt

$\operatorname {probit} (p)=\Phi ^{-1}(p)$

Probit von $p$, wobei $\Phi$ die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung bezeichnet. Die Funktion $\operatorname {probit} \colon (0,1)\to \mathbb {R}$ heißt auch Probit-Funktion. Wenn Wahrscheinlichkeiten $p\in (0,1)$ in $\operatorname {probit} (p)\in \mathbb {R}$ transformiert werden, spricht man auch von einer Probit-Transformation.

Eigenschaften

• Es gilt

$\operatorname {probit} (p){\begin{cases}<0&{\text{für }}p<1/2\\=0&{\text{für }}p=1/2\\>0&{\text{für }}p>1/2\end{cases}}\;.$

• Die Probit-Funktion besitzt die Symmetrieeigenschaft

$\operatorname {probit} (1-p)=-\operatorname {probit} (p)\quad {\text{für alle }}0<p<1$

• Die Probit-Funktion ist differenzierbar und hat die Ableitungsfunktion

$\operatorname {probit} '(p)={\frac {1}{\varphi (\Phi ^{-1}(p))}}>0\quad {\text{für alle }}0<p<1,$

wobei $\varphi$ die Dichtefunktion der Standardnormalverteilung bezeichnet.

• Die Probit-Funktion ist invertierbar. Ihre Umkehrfunktion ist die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung.
• Formal ist $\operatorname {probit} (p)$ das $p$-Quantil der Standardnormalverteilung und die Probit-Funktion ist die Quantilfunktion einer standardnormalverteilten Zufallsvariablen. Die Bezeichnung Probit hat sich aber in bestimmten Anwendungsgebieten der Statistik durchgesetzt, auch als sprachliche Parallele zu Logit.

Probitanalyse

In der Biometrie heißt ein Teilgebiet der Untersuchung von Dosis-Wirkung-Beziehungen Probitanalyse. Dort findet sich folgende abweichende Terminologie für den Begriff Probit-Transformation. Für eine Zufallsvariable $X$, deren dekadischer Logarithmus $\lg X$ einer Normalverteilung mit den Parametern $\mu$ und $\sigma ^{2}$ genügt, ist die Zufallsvariable $(\lg X-\mu )/\sigma$ standardnormalverteilt und die Zufallsvariable $5+(\lg X-\mu )/\sigma$ nimmt mit sehr großer Wahrscheinlichkeit positive Werte an. Die Transformation der Messwerte

$x\mapsto 5+{\frac {\lg x-\mu }{\sigma }}$

heißt in diesem Zusammenhang Probit-Transformation. In diesem Zusammenhang wird der zu einer Wahrscheinlichkeit $p$ gehörende Probit als der Wert $\Phi ^{-1}(p)+5$ definiert.