Punktschätzer

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Eine wesentliche Aufgabe der schließenden Statistik ist die möglichst genaue Bestimmung gewisser Eigenschaften bzw. Größen einer Grundgesamtheit. Da die Beobachtungswerte als zufällig angenommen werden, kann die Bestimmung nicht exakt sein, sondern erfolgt als Schätzung. Ein Punktschätzer ist in diesem Sinne eine Funktion, die vorliegenden Beobachtungen einen Schätzwert der interessierenden Größe zuordnet. In den meisten Anwendungen ist die interessierende Größe ein Parameter der Wahrscheinlichkeitsverteilung der Beobachtungen (wie z.B. der Mittelwert \mu einer Normalverteilung N(\mu,\sigma^2)). Die Punktschätzung unterscheidet sich von der Intervallschätzung im Wesentlichen dadurch, dass ihr Ergebnis ein einzelner Wert ist und somit keine Information über die Genauigkeit der Schätzung aus ihr abgeleitet werden kann. Zur Bildung von Intervallschätzungen werden Punktschätzungen als Grundlage verwendet.

Ein Punktschätzer ist eine Funktion der zufälligen Beobachtungen, eine Punktschätzung der errechnete Wert des Punktschätzers für vorliegende Beobachtungen.

Punktschätzer werden insbesondere benutzt für die Schätzung von:

Die Qualität eines Punktschätzers wird anhand diverser Eigenschaften beurteilt. Die in der Literatur zentralen Eigenschaften sind:

  • Erwartungstreue (Unverzerrtheit, Unverfälschtheit): Ein Punktschätzer ist erwartungstreu, wenn er im Mittel den tatsächlichen Wert der interessierenden Größe korrekt angibt. In diesem Sinne besitzt die Schätzung keinen systematischen Fehler.
  • Konsistenz: Konsistenz bedeutet anschaulich, dass sich für eine wachsende Zahl von Beobachtungen die Punktschätzung tendenziell dem tatsächlichen Wert der interessierenden Größe annähert.
  • Effizienz: Effizient ist ein Punktschätzer, wenn seine Streuung im Vergleich zu anderen Punktschätzern minimal ist. In diesem Sinne besitzt ein effizienter Schätzer keine unnötige Streuung.

Beispiel: Es liegen zufällige Beobachtungen X_1,\dotsc,X_n vor, die alle unabhängig und normalverteilt sind mit dem unbekannten Erwartungswert \mu und Varianz \sigma^2 = 1. Der Mittelwert \mu kann durch das arithmetische Mittel der Beobachtungen geschätzt werden:

\hat \mu = \frac{1}{n} (X_1 + \cdots + X_n)

Der Erwartungswert dieses Punktschätzers ist der wahre Parameterwert \mu:

E(\hat \mu) = E \left (\frac{1}{n} (X_1 + \cdots + X_n) \right) = \frac{1}{n} \left ( E(X_1) + \cdots + E(X_n) \right ) = \frac{1}{n} n \mu = \mu

Deshalb ist der Schätzer \hat \mu erwartungstreu.

Siehe auch[Bearbeiten]

Verschiedene Schätzmethoden, z. B. die Kleinste-Quadrate-Methode