Pushforward

Als Pushforward wird eine Abbildung zwischen Tangentialräumen glatter Mannigfaltigkeiten bezeichnet, die die totale Ableitung im euklidischen Raum verallgemeinert.

Das duale Konzept heißt meist Rücktransport (Pullback).

Definition

Sind $M$ und $N$ glatte Mannigfaltigkeiten und ist $F \colon M\rightarrow N$ eine glatte Abbildung, so definiert man den Pushforward

$F_\ast\colon T_pM\rightarrow T_{F(p)}N$

von $F$ am Punkt $p \in M$ durch

$(F_*v)(f)=v(f\circ F)$

für $v \in T_p M$ und jede glatte Funktion $f\in\mathcal{C}^{\infty}(N)$ auf der Mannigfaltigkeit N. Hierbei werden Tangentialvektoren als Richtungsableitungen (Derivationen) aufgefasst, vgl. Tangentialraum.

Auf diese Weise wird eine Abbildung $F_\ast \colon TM \to TN$ definiert.

Bezeichnungen und Schreibweisen

Andere Bezeichnungen für den Pushforward sind Ableitung, Differential und Tangentialabbildung von $F$. Andere Schreibweisen sind $F\,'(p)v$, $DF_p(v)$, $D_pF(v)$, $dF_p(v)$, $d_pF(v)$ und $T_p F(v)$. Oft werden die Klammern um das Argument $v$ auch weggelassen.

Bedeutung für Tangentialvektoren von Kurven

Ist $v = \dot c(t) \in T_pM$ der Tangentialvektor einer differenzierbaren Kurve $c: I \to M$ (hierbei ist $I$ ein Intervall in $\R$) im Punkt $p = c(t)$, so ist $F_* v\,$ der Tangentialvektor der Bildkurve $\tilde c = F \circ c : I \to N$ im Bildpunkt $F(p) = \tilde c(t)$, also

$F_* v = \dot{\tilde c}(t) = (F \circ c)^\cdot (t)$.

Darstellung in Koordinaten

Sind $(x_1,\dots,x_m)$ lokale Koordinaten auf $M$ um $p$ und $(y_1,\dots,y_n)$ lokale Koordinaten auf $N$ um den Bildpunkt $F(p)$ so haben die Vektoren $v \in T_pM$ und $w = F_* v \in T_{F(p)}N$ die Darstellungen

$v= \sum_j v^j \, \frac{\partial}{\partial x^j}$ bzw. $w= \sum_i w^i \, \frac{\partial}{\partial y^i}$.

Wird weiter die Abbildung $F\colon M \to N$ durch die Funktionen $f^1(x_1,\dots,x_m),\dots,f^n(x_1,\dots,x_m)$ dargestellt, so gilt

$w^i = \sum_j \frac{\partial f^i}{\partial x^j}\, v^j$.

Pushforward im euklidischen Raum

Liegt der Spezialfall $F \colon \mathbb{R}^m\rightarrow \mathbb{R}^n$ vor, so stellt $F_*\,$ nichts anderes als die totale Ableitung $DF(p)\colon\mathbb{R}^m\rightarrow\mathbb{R}^n$ dar, wobei der euklidische Raum in natürlicher Weise mit seinem Tangentialraum identifiziert wird.

Oft wird der Tangentialraum $T_p \R^m$ des euklidischen Raums $\R^m$ im Punkt $p \in \R^m$ mit $\{p\} \times \R^m$ identifiziert, das Tangentialbündel $T\R^m$ also mit $\R^m \times \R^m$. In diesem Fall ist der Pushforward die Abbildung $F_\ast \colon (p,v) \mapsto (F(p), DF(p)(v))$.

Eigenschaften

Für den Pushforward einer Verkettung $G \circ F \colon M \to P$ zweier Abbildungen $F\colon M \to N$ und $G \colon N \to P$ gilt die Kettenregel:

$(G \circ F)_\ast = G_ \ast \circ F_\ast$

bzw. punktweise

$(G \circ F)_{\ast p} = G_ {\ast F(p)} \circ F_{\ast p}.$

Literatur

• John M. Lee: Introduction to Smooth Manifolds (= Graduate Texts in Mathematics 218). Springer-Verlag, New York NY u. a. 2003, ISBN 0-387-95448-1.