Richtungsableitung

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In der Mathematik ist die Richtungsableitung einer von mehreren Variablen abhängigen Funktion die momentane Änderungsrate dieser Funktion in einer durch einen Vektor vorgegebenen Richtung.

Eine Verallgemeinerung der Richtungsableitung auf unendlichdimensionale Räume ist das Gâteaux-Differential.

Definitionen[Bearbeiten]

Seien U\subset\R^n eine offene Menge, x\in{U} und v\in\R^n ein Richtungsvektor.

Die Richtungsableitung einer Funktion f\colon{U}\to\R am Punkt x entlang v ist definiert durch den Limes

D_{v}{f(x)} = \lim_{h \rightarrow 0}{\frac{f(x + h\cdot v) - f(x)}{h}},

falls dieser existiert.

Alternative Definition[Bearbeiten]

Durch f_{x,v}:t \mapsto f(x + t\cdot v) ist eine Funktion f_{x,v}\colon (-\epsilon;\epsilon)\to \R in der Umgebung der 0 definiert. \epsilon>0 ist dabei so gewählt, dass folgendes gilt

\{x+t\cdot v|-\epsilon<t<\epsilon\}\subset U.

Es ist f_{x,v}(0) = f(x) und die Ableitung von f_{x,v} an der Stelle t=0 ist gerade die Richtungsableitung von f im Punkt x in Richtung v:

D_v f(x) = f_{x,v}'(0) = \frac{d}{dt}f(x + t\cdot v)\Big|_{t=0}

Einseitige Richtungsableitungen[Bearbeiten]

Die einseitigen Richtungsableitungen von f\colon{U} \rightarrow \mathbb{R} in Richtung v\in\R^{n} sind definiert durch

D^{+}_v{f(x)} = \lim_{h \rightarrow 0,\,h>0}{\frac{f(x + h\cdot v) - f(x)}{h}}
D^{-}_v{f(x)} = \lim_{h \rightarrow 0,\,h<0}{\frac{f(x + h\cdot v) - f(x)}{h}} = -D_{-v}^+f(x).

Die Richtungsableitung in Richtung v existiert genau dann, wenn die beiden einseitigen Richtungsableitungen  D^{+}_{v}{f(x)} und D^{-}_{v}{f(x)} übereinstimmen. In diesem Fall gilt

D_{v}{f(x)} = D^{+}_{v}{f(x)} = D^{-}_{v}{f(x)}.

Ableitung in normierte Richtungen[Bearbeiten]

Einige Autoren[1] definieren die Richtungsableitung nur in Richtung normierter Vektoren:

D_{v}{f(x)} = \lim_{h \rightarrow 0}{\frac{f(x + h\cdot v) - f(x)}{h\cdot|v|}}.

Für Richtungen v auf der Einheitssphäre \mathbb{S}^{n-1} stimmen diese beiden Definition überein. Andernfalls unterscheiden sich die beiden Definition durch den Faktor |v|. Während die obige Definition für alle Richtungen definiert ist, ist die Ableitung in normierte Richtungen nur für v\neq0 definiert.

Schreibweisen[Bearbeiten]

Statt D_v f (x) sind auch die Schreibweisen

\nabla_{v}{f}(x),   \partial_v f(x),   \displaystyle\frac{\partial{f(x)}}{\partial{v}}   und  f'_v(x)

üblich, um unter anderem Verwechslungen mit den kovarianten Ableitungen der Differentialgeometrie zu vermeiden.

Ist f total differenzierbar, so kann die Richtungsableitung mit Hilfe der totalen Ableitung dargestellt werden (siehe den Abschnitt Eigenschaften). Schreibweisen dafür sind

Df(x) v,   Df_x \, v,   \operatorname{grad}\ f(x) \cdot v,   \nabla f(x) \cdot v   und (v \cdot \nabla) f (x).

Eigenschaften[Bearbeiten]

  • Die einseitige Richtungsableitung ist als Funktion von \vec{v} positiv homogen, das heißt für alle positiven \alpha>0 gilt:
    D^{+}_{\alpha\vec{v}}{f(\vec{x})}=\alpha D^{+}_{\vec{v}}{f(\vec{x})}.

Beispiel[Bearbeiten]

Absolutbetrag=seine Richtungsableitung in 0

Im eindimensionalen Fall gibt es nur zwei mögliche Richtungen, nämlich nach links bzw. nach rechts. Die Richtungsableitungen entsprechen also den üblichen einseitigen Ableitungen. Die Ableitungen in beide Richtungen dürfen verschiedene Werte annehmen, das bedeutet anschaulich, dass die Funktion einen Knick haben kann. Ein einfaches Beispiel hierfür ist die Betragsfunktion. Sie ist in 0 zwar nicht differenzierbar, aber die einseitige Richtungsableitung existiert:

D^{+}_{v}{f(0)}=v für v\geq 0 und
D^{+}_{v}{f(0)}=-v für v \leq 0

Der Absolutbetrag ist also gleich seiner einseitigen Richtungsableitung in 0 als Funktion von v.

Literatur[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Lothar Papula: Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler, Springer Verlag 2008, ISBN 9783834802255, S. 66.