Ringhomomorphismus

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In der Ringtheorie betrachtet man spezielle Abbildungen zwischen Ringen, die man Ringhomomorphismen nennt. Ein Ringhomomorphismus ist eine strukturerhaltende Abbildung zwischen Ringen, und damit ein spezieller Homomorphismus.

Definition[Bearbeiten]

Gegeben seien zwei Ringe (R, +, \cdot) und (S, \oplus, \otimes). Eine Funktion \varphi\colon\, R \to S heißt Ringhomomorphismus, wenn für alle Elemente a,b von R gilt:

\varphi(a + b) = \varphi(a) \oplus \varphi(b) und \varphi(a \cdot b) = \varphi(a) \otimes \varphi(b).[1]

Die Gleichung besagt, dass der Homomorphismus strukturerhaltend ist: Es ist egal, ob man erst zwei Elemente verknüpft, und das Ergebnis abbildet, oder erst die zwei Elemente abbildet, und dann die Bilder verknüpft.

Erklärung[Bearbeiten]

Anders ausgedrückt, ist ein Ringhomomorphismus eine Abbildung zwischen zwei Ringen, die sowohl Gruppenhomomorphismus bezüglich der additiven Gruppen der beiden Ringe, als auch Halbgruppenhomomorphismus bezüglich der multiplikativen Halbgruppen der beiden Ringe ist.

Für einen „Homomorphismus von Ringen mit Eins“ wird meist zusätzlich \varphi(1_R) = 1_S gefordert. Beispielsweise ist die Nullabbildung von \Z nach \Z zwar ein Ringhomomorphismus, aber kein Homomorphismus von Ringen mit Eins, da die besondere Struktur der Eins durch die Abbildung verloren geht: Die Eins wird (wie alle anderen Elemente) zur Null.

Für einen Ringhomomorphismus \operatorname\varphi sind die beiden Mengen

\operatorname{Kern}\ \operatorname\varphi = \lbrace x\in R\mid\operatorname\varphi(x) = 0\rbrace und
\operatorname{Bild}\ \operatorname\varphi = \operatorname\varphi(R) = \lbrace \operatorname\varphi(x)\in S\mid x\in R\rbrace

definiert; aus dem Englischen und Lateinischen schreibt man auch statt Kern ker und statt Bild img, im oder schlicht I (großes i). \operatorname{Kern}\ \operatorname\varphi und \operatorname{Bild}\ \operatorname\varphi sind Unterringe von R bzw. S, \operatorname{Kern}\ \operatorname\varphi sogar ein Ideal. Ein Ringhomomorphismus ist genau dann injektiv (also ein Ringmonomorphismus), wenn \operatorname{Kern}\ \operatorname\varphi=\lbrace 0\rbrace gilt.

Beispiele[Bearbeiten]

Folgende Abbildungen sind Ringhomomorphismen:

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Gerd Fischer: Lineare Algebra. 14. durchgesehene Auflage. Vieweg, Wiesbaden 2003, ISBN 3-528-03217-0, (Vieweg Studium. Grundkurs Mathematik), S. 145

Literatur[Bearbeiten]

  • Gerd Fischer: Lineare Algebra. 14. durchgesehene Auflage. Vieweg, Wiesbaden 2003, ISBN 3-528-03217-0, (Vieweg Studium. Grundkurs Mathematik).