Restklasse

Im mathematischen Teilgebiet der Zahlentheorie ist die Restklasse einer Zahl $a$ modulo einer Zahl $m$ die Menge aller Zahlen, die bei Division durch $m$ denselben Rest lassen wie $a$.

Definition

Es sei $m$ eine von 0 verschiedene ganze Zahl und $a$ eine beliebige ganze Zahl. Die Restklasse von $a$ modulo $m$, geschrieben

$a + m \mathbb{Z},$

ist die Äquivalenzklasse von $a$ bezüglich der Kongruenz modulo $m$, also die Menge der Ganzzahlen, die bei Division durch $m$ den gleichen Rest wie $a$ ergeben. Sie besteht somit aus allen ganzen Zahlen $b$, die sich aus $a$ durch die Addition ganzzahliger Vielfacher von $m$ ergeben:

$a + m \mathbb{Z} = \{ b\mid b=a+km\ \, \mathrm{f\ddot ur\ ein}\ \, k\in\mathbb Z\} = \{ b \mid b \equiv a \; (\bmod \; m) \}$.

Ein Element einer Restklasse bezeichnet man auch als Repräsentant der Restklasse. Häufig verwendet man die Standardrepräsentanten $0,1,2,\dots,m-1$.

Die Menge aller Restklassen modulo $m$ schreibt man häufig als $\mathbb{Z} / m \mathbb{Z}$ oder $\mathbb{Z}_m$. Sie hat $m$ Elemente und die Struktur eines Ringes und wird deshalb Restklassenring genannt. Genau dann, wenn $m$ eine Primzahl ist, ergibt sich sogar die Struktur eines endlichen Körpers.

Eine Restklasse modulo $m$ heißt prime Restklasse, wenn ihre Elemente teilerfremd zu $m$ sind. (Wenn dies für ein Element gilt, dann auch für alle anderen.) Die Menge der primen Restklassen ist die Gruppe der Einheiten $(\mathbb Z/m\mathbb Z)^\times$ (oder $\mathbb{Z}_m^*$) im Restklassenring $\mathbb Z/m\mathbb Z$; sie wird prime Restklassengruppe genannt und umfasst die multiplikativ invertierbaren Restklassen.

Beispiele

• Die Restklasse von 0 modulo 2 ist die Menge der geraden Zahlen.
• Die Restklasse von 1 modulo 2 ist die Menge der ungeraden Zahlen.
• Die Restklasse von 0 modulo $m$ ist die Menge der Vielfachen von $m$.
• Die Restklasse von 1 modulo 3 ist die Menge $\{\ldots-8,-5,-2,1,4,7,10,\ldots\}.$

Verallgemeinerung

Ist $A$ ein Ring und $I\subseteq A$ ein Ideal, so heißen Mengen der Form

$a+I=\{a+i\mid i\in I\}$

Restklassen modulo $I$. Ist $A$ kommutativ, oder ist $I$ ein zweiseitiges Ideal, so hat die Menge $A/I$ der Restklassen modulo $I$ eine natürliche Ringstruktur und heißt Restklassenring, Quotientenring oder Faktorring modulo $I$. $A/I$ wird durch Elemente in $A$ repräsentiert, wobei die Restklassen $a+I$ und $b+I$ in $A/I$ übereinstimmen, falls $a-b \in I$ gilt.