Satz von Cramér-Wold

Der Satz von Cramér-Wold, auch Cramér-Wold-Device genannt, (nach Harald Cramér und Herman Wold) aus der Maßtheorie besagt, dass ein Borelmaß auf $\mathbb {R} ^{k}$ durch alle seine eindimensionalen Projektionen eindeutig bestimmt ist. Dies begründet, warum es in statistischen Verfahren wie der Grand Tour oder Projection Pursuit ausreicht, sich Projektionen der Daten anzuschauen. Er wurde 1936 veröffentlicht.

Es seien ${\overline {X}}_{n}=(X_{n1},\dots ,X_{nk})\;$ und $\;{\overline {X}}=(X_{1},\dots ,X_{k})$ zwei $k$-dimensionalen Zufallsvariablen. Dann gilt

${\overline {X}}_{n}{\rightarrow }{\overline {X}}\Longleftrightarrow \sum _{i=1}^{k}t_{i}X_{ni}{\rightarrow }\sum _{i=1}^{k}t_{i}X_{i}$ für alle $(t_{1},\dots ,t_{k})\in \mathbb {R} ^{k}$.

Jede (feste) Linearkombination von ${\overline {X}}_{n}$konvergiert in Verteilung gegen die korrespondierende Linearkombination von ${\overline {X}}$ genau dann, wenn ${\overline {X}}_{n}$ gegen ${\overline {X}}$ konvergiert in Verteilung. Dies bedeutet, die Konvergenz in Verteilung einer multivariaten Zufallsvariablen kann auf die Konvergenz in Verteilung einer univariaten Zufallsvariablen (eben der Linearkombinationen) zurückgeführt werden.

Weblinks

• PlanetMath: Cramér-Wold theorem
• Project Euclid: When is a probability measure determined by infinitely many projections?
• Reference.com: Herman Wold