Satz von Gauß-Lucas

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Der Satz von Gauß-Lucas gibt eine Beziehung zwischen den Nullstellen eines Polynoms P und dessen Ableitung P' an. Die Menge der Nullstellen eines Polynoms ist eine Menge von Punkten in der komplexen Ebene. Der Satz zeigt, dass die Nullstellen der Ableitung P' in der konvexen Hülle der Nullstellen von P liegen. Der Satz von Gauß-Lucas ist nach Carl Friedrich Gauß und Félix Lucas benannt.

Der Satz von Gauß-Lucas[Bearbeiten]

Sei P eine Polynomfunktion mit komplexen Koeffizienten und sei P^\prime die Ableitung von P. Dann liegen alle Nullstellen von P^\prime in der konvexen Hülle der Nullstellen von P.

Geschichte[Bearbeiten]

Der Satz wurde erstmals von Carl Friedrich Gauß 1836 [1] niedergeschrieben, jedoch erst 1879 von Félix Lucas bewiesen [2].

Stärkere Aussage[Bearbeiten]

Die Nullstellen von P' liegen sogar in der konvexen Hülle der Punkte


\omega_{jk}=\frac{z_j+(n-1)z_k}{n}

mit j\,,k=1,\ldots ,n und j≠ k, wobei z_1,\ldots,z_n die n Nullstellen von P sind. [3]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. C.F. Gauß: Werke, Band 3, Göttingen 1866, S. 120:112
  2. F. Lucas: Sur une application de la Mécanique rationnelle à la théorie des équations. in: Comptes Rendus de l'Académie des Sciences (89), Paris 1979, S. 224-226
  3. W. Specht: Eine Bemerkung zum Satze von Gauß-Lucas, in: Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung (62), 1959, S. 85-92

Siehe auch[Bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten]