Komplexe Zahl

ℂ

Die komplexen Zahlen erweitern den Zahlenbereich der reellen Zahlen derart, dass die Gleichung $x^2 + 1 = 0$ lösbar wird.

Dies gelingt durch Einführung einer neuen Zahl $\mathrm i$ mit der Eigenschaft $\mathrm i^2 = -1$. Diese Zahl $\mathrm i$ wird als imaginäre Einheit bezeichnet.

Der Ursprung der Theorie der imaginären Zahlen, das heißt aller Zahlen, deren Quadrat eine negative reelle Zahl ist, geht auf die italienischen Mathematiker Gerolamo Cardano und Rafael Bombelli bis ins 16. Jahrhundert zurück. Die Einführung der imaginären Einheit $\mathrm i$ als neue Zahl wird Leonhard Euler zugeschrieben.

Komplexe Zahlen werden meist in der Form $a+b\cdot \mathrm i$ dargestellt, wobei $a$ und $b$ reelle Zahlen sind und $\mathrm i$ die imaginäre Einheit ist. Auf die so dargestellten komplexen Zahlen lassen sich die üblichen Rechenregeln für reelle Zahlen anwenden, wobei $\mathrm i^2$ stets durch −1 ersetzt werden kann und umgekehrt. Für die Menge der komplexen Zahlen wird das Symbol $\mathbb C$ (Unicode U+2102: ℂ) verwendet.

Der so konstruierte Zahlenbereich der komplexen Zahlen bildet einen Körper und hat eine Reihe vorteilhafter Eigenschaften, die sich in vielen Bereichen der Natur- und Ingenieurwissenschaften als äußerst nützlich erwiesen haben. Einer der Gründe für diese positiven Eigenschaften ist die algebraische Abgeschlossenheit der komplexen Zahlen. Dies bedeutet, dass jede algebraische Gleichung vom Grad größer Null über den komplexen Zahlen eine Lösung besitzt, was für reelle Zahlen nicht gilt. Diese Eigenschaft ist der Inhalt des Fundamentalsatzes der Algebra. Ein weiterer Grund ist ein Zusammenhang zwischen trigonometrischen Funktionen und der Exponentialfunktion, der über die komplexen Zahlen hergestellt werden kann. Ferner ist jede auf einer offenen Menge einmal komplex differenzierbare Funktion dort von selbst beliebig oft differenzierbar, anders als in der Analysis der reellen Zahlen. Die Eigenschaften von Funktionen mit komplexen Argumenten sind Gegenstand der Funktionentheorie, auch komplexe Analysis genannt.

Definition

Als komplexe Zahlen bezeichnet man die Zahlen der Form $a+b\cdot\mathrm i$ (bzw. in verkürzter Notation $a+b\mathrm i$ oder auch $a+\mathrm ib$) mit reellen Zahlen $a$ und $b$. Die imaginäre Einheit $\mathrm i$ ist dabei eine nicht-reelle Zahl mit der Eigenschaft $\mathrm i^2=-1.$

Dabei wird $a$ als Realteil und $b$ als Imaginärteil von $a + b\mathrm i$ bezeichnet. Dafür haben sich zwei Notationen etabliert:

• $a = \operatorname{Re}{(a + b\mathrm i)}$ und $b = \operatorname{Im}{(a + b\mathrm i)}$
• $a = \Re{(a + b\mathrm i)}$ und $b = \Im{(a + b\mathrm i)}$

Notation

Die Notation in der Form $a+b\,\mathrm i\$ wird auch als (nach René Descartes benannte) kartesische oder algebraische Form bezeichnet. Die Bezeichnung kartesisch erklärt sich aus der Darstellung in der komplexen bzw. gaußschen Zahlenebene (siehe weiter unten). Es findet sich auch die Darstellung $\left( a, b\right)$; in der Norm DIN 1302:1999 Allgemeine mathematische Zeichen und Begriffe kommt sie allerdings nicht vor.

In der Elektrotechnik wird das kleine i schon für zeitlich veränderliche Ströme verwendet (siehe Wechselstrom) und kann zu Verwechslungen mit der imaginären Einheit i führen. Daher kann in diesem Bereich gemäß DIN 1302 der Buchstabe j verwendet werden.

In der Physik wird zwischen $i\$ für die Stromstärke bei Wechselstrom und $\mathrm i\$ für die imaginäre Einheit unterschieden. Dies führt durch die recht klare Trennung beim aufmerksamen Leser nicht zu Verwechslungen und wird in dieser Form weitgehend sowohl in der physikalisch-experimentellen als auch in der physikalisch-theoretischen Literatur angewandt; handschriftlich ist diese Feinheit allerdings nicht zu halten. Siehe auch: Komplexe Wechselstromrechnung

Komplexe Zahlen können gemäß DIN 1304-1 und DIN 5483-3 unterstrichen dargestellt werden, um sie von reellen Zahlen zu unterscheiden.

Rechnen in der algebraischen Form

Addition

Für die Addition zweier komplexer Zahlen $a+b\cdot\mathrm i$ und $c+d\cdot\mathrm i$ gilt

$(a+b\,\mathrm i)+(c+d\,\mathrm i)=(a+c)+(b+d)\,\mathrm i.$

Subtraktion

Analog zur Addition (siehe oben) funktioniert auch die Subtraktion

$(a + b \, \mathrm i) - (c + d \, \mathrm i) = (a - c) + (b - d) \, \mathrm i.$

Multiplikation

Für die Multiplikation gilt entsprechend

$(a+b\,\mathrm{i})\cdot(c+d\,\mathrm{i})=(ac-bd) + (ad+bc)\cdot\mathrm i.$

Diese Formel ergibt sich mit der Definition $\mathrm i^2=-1$ durch einfaches Ausmultiplizieren und Neugruppieren.

Division

Der Quotient zweier komplexer Zahlen $a+b\,\mathrm i$ und $c+d\,\mathrm i$ mit $c+d\,\mathrm i\neq 0$ lässt sich berechnen, indem man den Bruch mit der zum Nenner $c+d \,\mathrm i$ konjugiert komplexen Zahl $c-d \,\mathrm i$ erweitert. Der Nenner wird dadurch reell (und ist gerade das Quadrat des Betrages von $c+d\;\mathrm i$):

$\frac{a+b\,\mathrm i}{c+d\,\mathrm i} = \frac{(a+b\,\mathrm i)(c-d\,\mathrm i)}{(c+d\,\mathrm i)(c-d\,\mathrm i)} = \frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\frac{bc-ad}{c^2+d^2}\cdot\mathrm i.$

Rechenbeispiele

Addition:

$(3+2\mathrm i) + (5+5\mathrm i) = (3+5) + (2+5)\mathrm i = 8 + 7\mathrm i$

Subtraktion:

$(5+5\mathrm i) - (3+2\mathrm i) = (5-3) + (5-2)\mathrm i = 2 + 3\mathrm i$

Multiplikation:

$(2+5\mathrm i) \cdot (3+7\mathrm i) = (2\cdot 3 - 5\cdot 7)+(2\cdot 7 + 5\cdot 3)\mathrm i = -29 + 29\mathrm i$

$(2+5\mathrm i) \cdot (3+7\mathrm i) = (2\cdot 3 + 2\cdot 7\mathrm i)+(5\mathrm i\cdot 3 + 5\mathrm i\cdot 7\mathrm i) = 6 + 14\mathrm i + 15\mathrm i -35 = -29 + 29\mathrm i$

Division:

${(2+5\mathrm{i}) \over (3+7\mathrm{i})} = {(2+5\mathrm{i}) \over (3+7\mathrm{i})} \cdot {(3-7\mathrm{i}) \over (3-7\mathrm{i})} = {(6+35)+(15\mathrm{i}-14\mathrm{i}) \over (9+49)+ (21\mathrm{i}-21\mathrm{i})} = {41+\mathrm{i} \over 58} = {41\over 58}+{1\over 58}\cdot\mathrm{i}$

Weitere Eigenschaften

• Der Körper $\C$ der komplexen Zahlen ist einerseits ein Oberkörper von $\R$, andererseits ein zweidimensionaler $\R$-Vektorraum. Der Isomorphismus $\C \cong \R^2$ wird auch als natürliche Identifikation bezeichnet.
• Die Körpererweiterung $\C:\R$ ist vom Grad $[\C:\R]=2$; genauer ist $\C$ isomorph zum Faktorring $\R[X]/(X^2+1)$, wobei $X^2+1$ das Minimalpolynom von $\mathrm{i}$ über $\R$ ist. Ferner bildet $\C$ bereits den algebraischen Abschluss von $\R$.
• Als $\R$-Vektorraum besitzt $\C$ die Basis $\{1, \mathrm{i}\}$. Daneben ist $\C$ wie jeder Körper auch ein Vektorraum über sich selbst, also ein eindimensionaler $\C$-Vektorraum mit Basis $\{1\}$.
• $\mathrm{i}$ und $-\mathrm{i}$ sind genau die Lösungen der quadratischen Gleichung $x^2 + 1 = 0$. In diesem Sinne kann $\mathrm{i}$ (aber auch $\mathrm{-i}$) als „Wurzel aus $-1$“ aufgefasst werden.
• $\C$ ist im Gegensatz zu $\R$ kein geordneter Körper, d. h., es gibt keine mit der Körperstruktur verträgliche lineare Ordnungsrelation auf $\C$. Von zwei unterschiedlichen komplexen Zahlen kann man daher nicht sinnvoll (bezogen auf die Addition und Multiplikation in $\C$) festlegen, welche von beiden die größere bzw. die kleinere Zahl ist.

Betrag und Metrik

Betrag

Der Betrag $|z|$ einer komplexen Zahl $z$ ist die Länge ihres Vektors in der Gaußschen Zahlenebene und lässt sich z. B. zu

$|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$

aus ihrem Realteil $\operatorname{Re}{(z)}=a$ und Imaginärteil $\operatorname{Im}{(z)}=b$ berechnen. Als eine Länge ist der Betrag reell und nichtnegativ.

Beispiel:

$|239+\mathrm i| = \sqrt{239^2+1^2} = \sqrt{57121+1} = \sqrt{57122} = 169\cdot\sqrt{2}$

Metrik

Die durch die Abstandsfunktion $d_{\C}(z_1,z_2):=|z_1-z_2|$ induzierte Metrik versieht den komplexen Vektorraum $\C$ mit seiner Standardtopologie. Sie stimmt mit der Produkttopologie von $\R \times \R$ überein, wie die Einschränkung $d_{\R}$ von $d_{\C}$ auf $\R$ mit der Standardmetrik auf $\R$ übereinstimmt.

Beide Räume $\C$ wie $\R$ sind vollständig unter diesen ihren Metriken. Auf beiden Räumen lässt sich der topologische Begriff der Stetigkeit zu analytischen Begriffen wie Differentiation und Integration erweitern.

Komplexe Zahlenebene

Gaußsche Ebene mit einer komplexen Zahl in kartesischen und in Polarkoordinaten

Die Farbdarstellung der komplexen Zahlenebene wird häufig zur Veranschaulichung komplexer Funktionen angewendet. Die Farbe kodiert das Argument und die Helligkeit gibt den Betrag an.

Während sich die Menge $\Bbb R$ der reellen Zahlen durch Punkte auf einer Zahlengeraden veranschaulichen lässt, kann man die Menge $\C$ der komplexen Zahlen als Punkte in einer Ebene (komplexe Ebene, gaußsche Zahlenebene) darstellen. Dies entspricht der „doppelten Natur“ von $\C$ als zweidimensionalem reellem Vektorraum. Die Teilmenge der reellen Zahlen bildet darin die waagerechte Achse, die Teilmenge der rein imaginären Zahlen (d. h. mit Realteil 0) bildet die senkrechte Achse. Eine komplexe Zahl $z = (a,b) = a+b\,\mathrm{i}$ mit $a,b \in \mathbb{R}$ besitzt dann die horizontale Koordinate $a$ und die vertikale Koordinate $b$.

Gemäß Definition entspricht die Addition komplexer Zahlen der Vektoraddition. Die Multiplikation ist in der gaußschen Ebene eine Drehstreckung, was nach Einführung der Polarform weiter unten klarer werden wird. Besonders in der Physik wird die geometrisch anschauliche Ebene häufig als die komplexe Zahlenebene aufgefasst und der Notation der komplexen Zahlen der Vorzug vor der Vektordarstellung gegeben.

Polarform

Verwendet man anstelle der kartesischen Koordinaten $a = \mathrm{Re}(z)$ und $b = \mathrm{Im}(z)$ Polarkoordinaten $\ r = |z|$ und $\varphi = \operatorname{arg}(z)$, kann man die komplexe Zahl $z=a+b\,\mathrm{i}$ auch in der folgenden, auf der eulerschen Relation beruhenden sogenannten Polarform

$z = r \cdot e^{\mathrm{i}\varphi} = r \cdot (\cos \varphi + \mathrm{i} \cdot \sin \varphi)$

darstellen, die sich aus $a = r \cdot \cos \varphi$ und $b = r \cdot \sin \varphi$ ergibt. Die Darstellung mit Hilfe der komplexen e-Funktion $r \cdot e^{\mathrm{i}\varphi}$ heißt dabei auch Exponentialdarstellung (der Polarform), die Darstellung mittels des Ausdrucks $r \cdot (\cos \varphi + \mathrm{i} \cdot \sin \varphi)$ trigonometrische Darstellung (der Polarform). Aufgrund der eulerschen Relation sind beide Darstellungsformen gleichwertige und gleichbedeutende Alternativschreibweisen der Polarform. Des Weiteren gibt es für sie, namentlich in der Praxis, die noch weiter verkürzten Schreibweisen

$z = r \cdot\operatorname{cis}\,\varphi = r \cdot\operatorname{E}\,(\varphi) = r\,\angle\,\varphi\,,$

in denen $\operatorname{cis}\, \varphi$ für die Summe $\cos \varphi + \mathrm{i} \cdot \sin \varphi$ steht und die Form mit dem Winkeloperator $\angle$ als Versordarstellung bezeichnet wird.

In der komplexen Zahlenebene entspricht dabei $\ r$ der euklidischen Vektorlänge (d. h. dem Abstand zum Ursprung 0) und $\varphi$ dem mit der reellen Achse eingeschlossenen Winkel der Zahl $\ z$. Üblicherweise jedoch nennt man $\ r$ hier den Betrag von $\ z$ (oder auch sein Modul) (Schreibweise $\ r = |z|$) und den Winkel $\varphi$ das Argument (oder auch die Phase) von $\ z$ (Schreibweise $\varphi = \operatorname{arg}(z)$).

Da $\varphi$ und $\varphi+2\pi$ dabei derselben Zahl $\ z$ zugeordnet werden können, ist die Polardarstellung zunächst nicht eindeutig. Deshalb schränkt man $\varphi$ meist auf das Intervall $(-\pi;\pi]$, also $-\pi < \varphi \leq \pi$ ein, um anschließend statt vom Argument selbst von seinem Hauptwert für $z\neq 0$ zu sprechen. Der Zahl $\ z = 0$ indes ließe sich jedes beliebige Argument zuordnen, und zum Zweck einer eindeutigen Darstellung kann man es in diesem Fall tatsächlich auf 0 festlegen.

Das Argument von $\ z$ ist auch der Imaginärteil des komplexen natürlichen Logarithmus

$\ln z=\ln|z|+\mathrm i\cdot\arg (z).$

Mit der Wahl eines auf ganz $\mathbb C$ definierten Zweiges des Logarithmus ist also auch eine Argumentfunktion bestimmt (und umgekehrt).

Alle Werte $e^{\mathrm{i} \varphi}$ bilden den Einheitskreis der komplexen Zahlen mit dem Betrag $1$, diese Zahlen werden auch unimodular genannt und bilden die Kreisgruppe.

Dass die Multiplikation von komplexen Zahlen (außer der Null) Drehstreckungen entspricht, lässt sich mathematisch wie folgt ausdrücken: Die multiplikative Gruppe der komplexen Zahlen ohne die Null lässt sich als direktes Produkt der Gruppe der Drehungen, der Kreisgruppe, und der Streckungen um einen Faktor ungleich Null, der multiplikativen Gruppe $\R^+$ auffassen. Erstere Gruppe lässt sich durch das Argument $\varphi$ parametrisieren, zweitere entspricht gerade den Beträgen.

Komplexe Konjugation

→ Hauptartikel: Konjugation (Mathematik)

Eine komplexe Zahl z = a+bi mit ihrer konjugiert komplexen Zahl $\bar z$ = a−bi

Dreht man das Vorzeichen des Imaginärteils $b$ einer komplexen Zahl $z = a+b\,\mathrm{i}$ um, so erhält man die zu $z$ konjugiert komplexe Zahl $\bar z=a-b\,\mathrm{i}$ (manchmal auch $z^*$ geschrieben).

Die Konjugation $\C\to\C,\,z\mapsto \bar z$ ist ein (involutorischer) Körperautomorphismus, da sie mit Addition und Multiplikation verträglich ist, d. h., für alle $y,z\in\C$ gilt

$\overline{y+z}=\bar y+\bar z,\quad \overline{y\cdot z}=\bar y\cdot \bar z.$

In der Polardarstellung hat die konjugiert komplexe Zahl $\bar z$ bei unverändertem Betrag gerade den negativen Winkel von $z.$ Man kann die Konjugation in der komplexen Zahlenebene also als die Spiegelung an der reellen Achse identifizieren. Insbesondere werden unter der Konjugation genau die reellen Zahlen auf sich selbst abgebildet.

Das Produkt aus einer komplexen Zahl $z=a+b\mathrm{i}$ und ihrer komplex Konjugierten $\bar z$ ergibt das Quadrat ihres Betrages:

$z\cdot\bar z = (a+b\mathrm{i}) (a-b\mathrm{i}) = a^2 + b^2=|z|^2$

Die komplexen Zahlen bilden damit ein triviales Beispiel einer C*-Algebra.

Die Summe aus einer komplexen Zahl $z=a+b\mathrm{i}$ und ihrer komplex Konjugierten $\bar z$ ergibt das 2-fache ihres Realteils:

$z + \bar z = (a+b\mathrm{i}) + (a-b\mathrm{i}) = 2a = 2\,\operatorname{Re}{(z)}.$

Die Differenz aus einer komplexen Zahl $z=a+b\mathrm{i}$ und ihrer komplex Konjugierten $\bar z$ ergibt das $2\mathrm{i}$-fache ihres Imaginärteils:

$z - \bar z = (a+b\mathrm{i}) - (a-b\mathrm{i}) = 2b\mathrm{i} = 2\mathrm{i}\,\operatorname{Im}{(z)}$

Umrechnungsformeln

Von der algebraischen Form in die Polarform

Für $z=a+b\,\mathrm{i}$ in algebraischer Form ist

$r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2}=\sqrt{z \cdot \overline z}.$

Für $z = 0$ kann das Argument mit 0 definiert werden, bleibt aber meist undefiniert. Für $z \neq 0$ kann das Argument $\varphi$ im Intervall $(-\pi;\pi]$ mit Hilfe des Arkuskosinus bzw. des Arkustangens durch

$\varphi=\arg(z)=\begin{cases} \arccos\frac{a}{r}&\mathrm{f\ddot ur}\ b\geq 0\\ -\arccos\frac{a}{r}&\text{sonst} \end{cases}=\begin{cases}\pi&\mathrm{f\ddot ur}\ z\in\mathbb{R^-}\\ 2\cdot\arctan\frac{b}{a+r}&\text{sonst} \end{cases}$

ermittelt werden. Etwas umständlicher (da der Fall $a=0$ gesondert behandelt werden muss und der Tangens im Intervall $(-\pi, \pi]$ seinen Wertebereich zweimal durchläuft) ist die Berechnungsvariante

$\varphi = \arg(z) = \begin{cases}\arctan\frac{b}{a}&\mathrm{f\ddot ur}\ a>0,b\, \text{beliebig}\\ \arctan\frac{b}{a} +\pi&\mathrm{f\ddot ur}\ a<0,b\geq 0\\ \arctan\frac ba - \pi&\mathrm{f\ddot ur}\ a<0,b<0\\ \pi/2&\mathrm{f\ddot ur}\ a=0,b>0\\ -\pi/2&\mathrm{f\ddot ur}\ a=0,b<0\\ \text{unbestimmt} & \mathrm{f\ddot ur}\ a = 0, b = 0 \end{cases}.$

für alle $z\in \mathbb{C}$. Viele Programmiersprachen und Tabellenkalkulationen stellen aber eine Variante der Arkustangensfunktion zur Verfügung (häufig mit dem Namen atan2 bezeichnet), die beide Werte übergeben bekommt und das Ergebnis je nach Vorzeichen von $a$ und $b$ dem passenden Quadranten zuordnet.

Berechnung des Winkels im Intervall [0, 2π)

Die Berechnung des Winkels $\phi$ im Intervall $[0,2\pi)$ kann im Prinzip so durchgeführt werden, dass der Winkel zunächst wie vorstehend beschrieben im Intervall $(-\pi,\pi]$ berechnet wird und dann um $2\pi$ vergrößert wird, falls er negativ ist:

$\varphi' = \arg(z) = \begin{cases} \varphi + 2\pi & \text{falls}\ \varphi < 0\\ \varphi & \text{sonst} \end{cases}$

(siehe Polarkoordinaten).

Von der Polarform in die algebraische Form

$a = \mathrm{Re}(z) = r \cdot \cos\varphi$

$b = \mathrm{Im}(z) = r \cdot \sin\varphi$

Wie weiter oben, stellt a den Realteil und b den Imaginärteil jener komplexen Zahl dar.

Multiplikation, Division und Addition in der Polarform

Bei der Multiplikation in der Polarform werden die Beträge multipliziert und die Phasen addiert. Bei der Division wird der Betrag des Dividenden durch den Betrag des Divisors geteilt und die Phase des Divisors von der Phase des Dividenden subtrahiert. Für die Addition existiert auch eine, etwas kompliziertere, Formel:

Trigonometrische Form

• $r\cdot (\cos \varphi + \mathrm{i}\cdot\sin \varphi ) \;\cdot\; s \cdot (\cos \psi + \mathrm{i} \cdot \sin \psi) = r \cdot s \cdot \left[ \cos (\varphi+\psi) + \mathrm{i} \cdot \sin (\varphi+\psi) \right]$

Die Division von zwei komplexen Zahlen entspricht dem Subtrahieren der Winkel und dem Dividieren der Beträge.

• $\frac{r\cdot (\cos \varphi + \mathrm{i} \cdot \sin \varphi)}{s\cdot (\cos \psi + \mathrm{i} \cdot \sin \psi)} = \frac{r}{s} \cdot \left[ \cos (\varphi-\psi) + \mathrm{i} \cdot \sin (\varphi-\psi) \right]$

• $r\cdot (\cos \varphi + \mathrm{i} \cdot\sin \varphi ) + s\cdot (\cos \psi+ \mathrm{i} \cdot\sin \psi) = t \cdot (\cos \chi + \mathrm{i} \cdot \sin \chi)$

wobei $t := \sqrt{r^2 + s^2 + 2 r s \cos (\varphi - \psi)}$
und $\chi := \arccos\left( \frac{r \cos \varphi + s \cos \psi}{t} \right)$ gesetzt ist.

Exponentialform

• $(r\cdot e^{\mathrm{i}\varphi}) \cdot (s \cdot e^{\mathrm{i}\psi}) = (r \cdot s) \cdot e^{\mathrm{i}(\varphi+\psi)}$

• $\frac{(r\cdot e^{\mathrm{i}\varphi})} {(s \cdot e^{\mathrm{i}\psi})} = \frac{r}{s} \cdot e^{\mathrm{i}(\varphi-\psi)}$

• $r \cdot e^{\mathrm{i}\varphi} + s \cdot e^{\mathrm{i}\psi} = t \cdot e^{ \mathrm{i} \chi}$ mit $t$ und $\chi$ wie oben.

Rechenoperationen 3. Stufe

Zu den Rechenoperationen der dritten Stufe gehören Potenzieren, Wurzelziehen (Radizieren) und Logarithmieren.

Potenzen

Natürliche Exponenten

Für natürliche Zahlen $n$ berechnet sich die $n$-te Potenz in der polaren Form $z=r e^{\mathrm i \varphi}$ zu

$z^n = r^n \cdot e^{\mathrm i n\varphi} = r^n \cdot (\cos n\varphi + \mathrm i \cdot \sin n \varphi)$

oder für die algebraische Form $z=a+b\mathrm i$ mit Hilfe des binomischen Satzes zu

$z^n=\sum_{k=0, \atop k\text{ gerade}}^n \binom nk (-1)^{\frac k2} a^{n-k}b^k + \mathrm i \sum_{k=1, \atop k\text{ ungerade}}^n \binom nk (-1)^{\frac{k-1}2} a^{n-k}b^k.$

Beliebige komplexe Exponenten

Die allgemeine Definition einer Potenz mit komplexer Basis $z\neq 0$ und komplexem Exponenten $\omega$ lautet

$z^\omega := e^{ \omega \cdot \ln z},$

wobei $\ln(z)$ für den Hauptwert des komplexen Logarithmus steht (siehe unten), damit liefert die Formel ebenfalls einen Hauptwert. Im Fall $\omega \in \mathbb{Z}$ oder $z \in \mathbb{R}^+$ allerdings stimmen alle in Frage kommenden Ergebnisse mit diesem Hauptwert überein und die Funktion wird eindeutig.

Wurzeln

→ Hauptartikel: Wurzeln aus komplexen Zahlen

Beim Rechnen mit Wurzeln gelten die bekannten Rechenregeln für nichtnegative reelle Zahlen nicht. Egal, welchen der beiden möglichen Werte $\mathrm i$ oder $-\mathrm i$ man für $\sqrt{-1}$ festlegt, erhält man z. B.

$1 = \sqrt 1 = \sqrt{(-1) \cdot (-1)} \ne \sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1} = -1.$

Zur Berechnung der $n$-ten Wurzeln der komplexen Zahl $z = re^{\mathrm i\phi}$ dient die Formel

$\sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{r}\cdot e^{\mathrm i \frac{\phi + 2k\pi}n},$

wobei $k$ die Werte $0, 1, \ldots, n-1$ durchläuft. Eine Zahl hat also $n$ komplexe $n$-te Wurzeln. Dadurch ist ein Wurzelterm in $\C$ mehrdeutig.

Logarithmen

Der komplexe natürliche Logarithmus ist (anders als der reelle) nicht eindeutig. Eine komplexe Zahl w heißt Logarithmus der komplexen Zahl z, wenn

$e^w=z.$

Mit w ist auch jede Zahl $w + 2m \pi \mathrm i$ mit beliebigem $m\in \Z$ ein Logarithmus von z. Man arbeitet daher mit Hauptwerten, d. h. Werten eines bestimmten Streifens der komplexen Ebene.

Der Hauptwert des natürlichen Logarithmus der komplexen Zahl

$z = re^{\mathrm i \phi}$

mit $r>0$ und $-\pi <\phi \leq \pi$ ist

$\ln z = \ln r + \mathrm i \phi.$

Anders formuliert: Der Hauptwert des natürlichen Logarithmus der komplexen Zahl z ist

$\ln z = \ln |z| + \mathrm i\, \mathrm{Arg}(z),$

wobei $\mathrm{Arg}(z)$ der Hauptwert des Arguments von z ist.

Pragmatische Rechenregeln

Am einfachsten lassen sich die Berechnungen folgendermaßen durchführen:

• Addition und Subtraktion komplexer Zahlen werden (in der algebraischen Form) komponentenweise durchgeführt.
• Die Multiplikation komplexer Zahlen kann je nach Vorgabe vorteilhaft in algebraischer Form oder in Exponentialform (Multiplikation der Beträge und Addition der Argumente (Winkel)) durchgeführt werden.
• Bei der Division komplexer Zahlen werden in Exponentialform ihre Beträge dividiert und ihre Argumente (Winkel) subtrahiert, oder in algebraischer Form der Quotient mit dem konjugierten Nenner erweitert.
• Beim Potenzieren einer komplexen Zahl mit einem reellen Exponenten wird ihr Betrag potenziert und ihr Argument (Winkel) mit dem Exponenten multipliziert; die Benutzung der algebraischen Form (mit Newtons Binomialsatz) ist in den meisten Fällen umständlicher (insbesondere für höhere Potenzen).
• Beim Radizieren (Wurzelziehen) einer komplexen Zahl mit einem reellen Exponenten wird ihr Betrag radiziert und ihr Argument (Winkel) durch den Exponenten dividiert. Hierdurch entsteht die erste Lösung. Bei einer $n$-ten Wurzel entstehen $n$ Lösungen, die im Winkel von $2\pi/n$ um den Ursprung der gaußschen Ebene verteilt sind. Siehe Wurzel (Mathematik). Eine Quadratwurzel kann auch recht einfach in kartesischer Form berechnet werden.

Konstruktion der komplexen Zahlen

Damit die obige axiomatische Definition einen Sinn hat, muss nachgewiesen werden, dass es überhaupt einen Körper $\mathbb C$ mit den benötigten Eigenschaften gibt. Dies leisten die folgenden Konstruktionen.

Paare reeller Zahlen

Die Konstruktion nimmt zunächst keinerlei Bezug auf die imaginäre Einheit $\mathrm i$: Im 2-dimensionalen reellen Vektorraum $\R^2$ der geordneten reellen Zahlenpaare $z=(a,b)$ wird neben der Addition

$(a, b) + (c, d) = (a + c , b + d)$

(das ist die gewöhnliche Vektoraddition) eine Multiplikation durch

$(a, b) \cdot (c, d) = (a \cdot c - b \cdot d, a \cdot d + b \cdot c)$

definiert.

Nach dieser Festlegung schreibt man $\C=\R^2$, und $(\mathbb{C}, +, \cdot)$ wird zu einem Körper, dem Körper der komplexen Zahlen.

Erste Eigenschaften

• Die Abbildung $\R\to\C,\,a\mapsto (a,0)$ ist eine Körpereinbettung von $\R$ in $\C$, aufgrund derer wir die reelle Zahl $a$ mit der komplexen Zahl $(a,0)$ identifizieren.

Bezüglich der Addition ist:

• die Zahl $0=(0,0)$ das Nullelement in $\C$ und
• die Zahl $-z=(-a,-b)$ das inverse Element in $\C$.

Bezüglich der Multiplikation ist:

• die Zahl $1=(1,0)$ das neutrale Element (das Einselement) von $\C$ und
• das Inverse (Reziproke) zu $z=(a,b)\neq (0,0)$ ist $z^{-1} = \left(\frac{a}{a^2+b^2},\,\frac{-b}{a^2+b^2}\right)$.

Bezug zur Darstellung in der Form a + bi

Durch $\mathrm i:=(0,1)$ wird die imaginäre Einheit festgelegt; für diese gilt $\mathrm i^2=-1$.

Jede komplexe Zahl $z=(a,b)\in\C$ besitzt die eindeutige Darstellung der Form

$z = (a,b) = (a,0)+(0,b)=a\cdot(1,0)+b\cdot(0,1) = a + b\,\mathrm{i}$

mit $a,b\in\R$; dies ist die übliche Schreibweise für die komplexen Zahlen.

Polynome: Adjunktion

Eine weitere Konstruktion der komplexen Zahlen ist der Faktorring

$\R[X]/(X^2+1)$

des Polynomringes in einer Unbestimmten über den reellen Zahlen. Die Zahl i entspricht dabei dem Bild der Unbestimmten $X$, die reellen Zahlen werden mit den konstanten Polynomen identifiziert.

Dieses Konstruktionsprinzip ist auch in anderem Kontext anwendbar, man spricht von Adjunktion.

Matrizen

Die Menge der $2\times2$-Matrizen der Form

$Z = \begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix} = a \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} + b \begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix} = a \cdot E + b \cdot I$ mit $a,b\in\R$

bildet ebenfalls ein Modell der komplexen Zahlen. Dabei werden die reelle Einheit $1$ bzw. die imaginäre Einheit $\mathrm i$ durch die Einheitsmatrix $E$ bzw. die Matrix $I$ dargestellt. Daher gilt:

$\mathrm{Re}(Z) = a$

$\mathrm{Im}(Z) = b$

$I^2 = -E$

$\operatorname{abs}(Z) = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{\det Z}$

Diese Menge ist ein Unterraum des Vektorraums der reellen $2\times2$-Matrizen.

Reelle Zahlen entsprechen Diagonalmatrizen $\begin{pmatrix}a&0\\0&a\end{pmatrix}.$

Die zu den Matrizen gehörenden linearen Abbildungen sind, sofern $a$ und $b$ nicht beide null sind, Drehstreckungen im Raum $\R^2$. Es handelt sich um genau dieselben Drehstreckungen wie bei der Interpretation der Multiplikation mit einer komplexen Zahl $a+b\mathrm i$ in der gaußschen Zahlenebene.

Geschichte

Die Unmöglichkeit der oben angegebenen Lösung ist bei der Behandlung der quadratischen Gleichung schon sehr früh bemerkt und hervorgehoben worden, z. B. schon in der um 820 n. Chr. verfassten Algebra des Muhammed ibn Mûsâ Alchwârizmî. Aber bei dem nächstliegenden und unanfechtbaren Schluss, dass diese Art von Gleichung nicht lösbar ist, blieb man nicht stehen.

In gewissem Sinne ist bereits der Italiener Gerolamo Cardano (1501–1576) in seinem 1545 erschienenen Buch Artis magnae sive de regulis algebraicis liber unus darüber hinausgegangen. Er behandelt dort die Aufgabe, zwei Zahlen zu finden, deren Produkt 40 und deren Summe 10 ist. Er hebt hervor, dass die dafür anzusetzende Gleichung:

$x(10-x)=40$ oder $x^2-10x+40=0$

keine Lösung hat, fügt aber einige Bemerkungen hinzu, indem er in die allgemeine Lösung der quadratischen Gleichung

$x_{1,2} = - \frac{p}{2}\pm\sqrt{ \frac{p^2}{4} - q }$

für $p$ und $q$ die Werte (−10) und 40 einsetzt. Wenn es also möglich wäre, dem sich ergebenden Ausdruck

$\sqrt{25-40}$ oder $\sqrt{-15}$

einen Sinn zu geben, und zwar so, dass man mit diesem Zeichen nach denselben Regeln rechnen dürfte wie mit einer reellen Zahl, so würden die Ausdrücke

$5 + \sqrt{-15}$ oder $5 - \sqrt{-15}$

in der Tat eine Lösung darstellen.

Für die Quadratwurzel aus negativen Zahlen und allgemeiner für alle aus einer beliebigen reellen Zahl $\alpha$ und einer positiven reellen Zahl $\beta$ zusammengesetzten Zahlen

$\alpha + \sqrt{-\beta}$ oder $\alpha - \sqrt{-\beta}$

hat sich seit der Mitte des 17. Jahrhunderts die Bezeichnung imaginäre Zahl eingebürgert.

Im Gegensatz dazu wurden als gewöhnliche Zahlen die reellen Zahlen bezeichnet. Eine solche Gegenüberstellung der zwei Begriffe findet sich in der 1637 erschienenen La Géométrie von Descartes und taucht dort wohl zum ersten Mal auf.

Heute bezeichnet man nur noch den Ausdruck, der durch die Wurzel aus einer negativen Zahl gebildet wird, als imaginäre Zahl und die von beiden Arten von Zahlen gebildete Menge von Zahlen als komplexe Zahlen. Man kann daher sagen, dass Cardano zum ersten Mal im heutigen Sinne mit komplexen Zahlen gerechnet hat und damit eine Reihe von Betrachtungen angestellt hat.

Da das Rechnen mit diesen als „sinnlos“ angesehenen Zahlen zunächst als bloßes Spiel erschien, war man umso überraschter, dass dieses „Spiel“ sehr häufig wertvolle Ergebnisse lieferte oder schon bekannten Ergebnissen eine befriedigendere Form zu geben erlaubte. So kam Leonhard Euler zum Beispiel in seiner Introductio in analysin infinitorum zu einigen bemerkenswerten Gleichungen, die nur reelle Zahlen enthielten und sich ausnahmslos als richtig erwiesen, die aber auf anderem Wege nicht so einfach gewonnen werden konnten.

So kam es, dass man diese Zahlen nicht als widersinnig verwarf, sondern sich immer mehr mit ihnen beschäftigte. Trotzdem umgab dieses Gebiet der Mathematik noch immer etwas Geheimnisvolles, Rätselhaftes und Unbefriedigendes. Erst durch die Abhandlung Essai sur la représentation analytique de la direction aus dem Jahre 1797 des norwegisch-dänischen Landmessers Caspar Wessel (1745–1818) wurde die Aufklärung über diese Zahlen angebahnt. Diese Arbeit, die er bei der dänischen Akademie einreichte, fand anfangs keine Beachtung. Ähnlich erging es Arbeiten anderer Mathematiker, sodass diese Betrachtungen noch mehrfach angestellt werden mussten.

Als erster definierte Augustin-Louis Cauchy 1821 in seinem Lehrbuch Cours d’analyse eine Funktion einer komplexen Variablen in die komplexe Zahlenebene und bewies viele grundlegende Sätze der Funktionentheorie.

Allgemeine Beachtung fanden sie erst dann, als auch Carl Friedrich Gauß im Jahre 1831 in einem Artikel in den Göttingschen gelehrten Anzeigen dieselben Auffassungen entwickelte, offensichtlich ohne Wissen von irgendwelchen Vorgängern.

Heute machen diese Dinge keinerlei begriffliche oder tatsächliche Schwierigkeiten. Durch die Einfachheit der Definition, der bereits erläuterten Bedeutung und Anwendungen in vielen Wissenschaftsgebieten stehen die komplexen Zahlen den reellen Zahlen in nichts nach. Der Begriff der „imaginären“ Zahlen, im Sinne von eingebildeten bzw. unwirklichen Zahlen, hat sich also im Laufe der Jahrhunderte als schiefe Auffassung erwiesen.

Bedeutung

Komplexe Zahlen in der Physik

Komplexe Zahlen spielen in der Grundlagenphysik eine zentrale Rolle. In der Quantenmechanik wird der Zustand eines physikalischen Systems als Element eines (projektiven) Hilbertraums über den komplexen Zahlen aufgefasst. Komplexe Zahlen finden Verwendung bei der Definition von Differentialoperatoren in der Schrödingergleichung und der Klein-Gordon-Gleichung. Für die Dirac-Gleichung benötigt man eine Zahlbereichserweiterung der komplexen Zahlen, die Quaternionen. Alternativ ist eine Formulierung mit Pauli-Matrizen möglich, die aber die gleiche algebraische Struktur wie die Quaternionen aufweisen.

Komplexe Zahlen haben in der Physik und Technik eine wichtige Rolle als Rechenhilfe. So lässt sich insbesondere die Behandlung von Differentialgleichungen zu Schwingungsvorgängen vereinfachen, da sich damit die komplizierten Beziehungen in Zusammenhang mit Produkten von Sinus- bzw. Kosinusfunktionen durch Produkte von Exponentialfunktionen ersetzen lassen, wobei lediglich die Exponenten addiert werden müssen. So fügt man dazu beispielsweise in der komplexen Wechselstromrechnung geeignete Imaginärteile in die reellen Ausgangsgleichungen ein, die man bei der Auswertung der Rechenergebnisse dann wieder ignoriert. Dadurch werden in der Zwischenrechnung harmonische Schwingungen (reell) zu Kreisbewegungen in der komplexen Ebene ergänzt, die mehr Symmetrie aufweisen und deswegen einfacher zu behandeln sind.

In der Optik werden die brechenden und absorbierenden Effekte einer Substanz in einer komplexen, Wellenlängen-abhängigen Permittivität (Dielektrizitätskonstante) oder der komplexen Brechzahl zusammengefasst, die wiederum auf die elektrische Suszeptibilität zurückgeführt wird.

In der Fluiddynamik werden komplexe Zahlen eingesetzt, um ebene Potentialströmungen zu erklären und zu verstehen. Jede beliebige komplexe Funktion eines komplexen Arguments stellt immer eine ebene Potenzialströmung dar – der geometrische Ort entspricht dem komplexen Argument in der gaußschen Zahlenebene, das Strömungspotenzial dem Realteil der Funktion, und die Stromlinien den Isolinien des Imaginärteils der Funktion mit umgekehrtem Vorzeichen. Das Vektorfeld der Strömungsgeschwindigkeit entspricht der konjugiert komplexen ersten Ableitung der Funktion. Durch das Experimentieren mit verschiedenen Überlagerungen von Parallelströmung, Quellen, Senken, Dipolen und Wirbeln kann man die Umströmung unterschiedlicher Konturen darstellen. Verzerren lassen sich diese Strömungsbilder durch konforme Abbildung – das komplexe Argument wird durch eine Funktion des komplexen Arguments ersetzt. Beispielsweise lässt sich die Umströmung eines Kreiszylinders (Parallelströmung + Dipol + Wirbel) in die Umströmung eines tragflügel-ähnlichen Profils (Joukowski-Profil) verzerren und die Rolle des tragenden Wirbels an einer Flugzeug-Tragfläche studieren. So nützlich diese Methode zum Lernen und Verstehen ist, zur genauen Berechnung reicht sie im Allgemeinen nicht aus.

Komplexe Zahlen in der Elektrotechnik

In der Elektrotechnik besitzt die Darstellung elektrischer Größen mit Hilfe komplexer Zahlen weite Verbreitung. Sie wird bei der Berechnung von zeitlich sinusförmig veränderlichen Größen wie elektrischen und magnetischen Feldern verwendet. Bei der Darstellung einer sinusförmigen Wechselspannung als komplexe Größe und entsprechenden Darstellungen für Widerstände, Kondensatoren und Spulen vereinfachen sich die Berechnungen des elektrischen Stromes, der Wirk- und der Blindleistung in einer Schaltung. Die durch Differentialquotienten oder Integrale gegebene Verkopplung geht über in eine Verkopplung durch trigonometrische Funktionen; die Berechnung der Zusammenhänge lässt sich damit wesentlich erleichtern. Auch das Zusammenwirken mehrerer verschiedener sinusförmiger Spannungen und Ströme, die zu unterschiedlichen Zeitpunkten ihre Nulldurchgänge haben können, lässt sich in komplexer Rechnung leicht darstellen. Genaueres über dieses Thema steht im Artikel über die komplexe Wechselstromrechnung.

In den letzten Jahren hat die digitale Signalverarbeitung außerordentlich an Bedeutung gewonnen, deren Fundament die Rechnung mit komplexen Zahlen bildet.

Körpertheorie

Die komplexen Zahlen sind der algebraische Abschluss des Körpers der reellen Zahlen.

Je zwei algebraisch abgeschlossene Körper mit derselben Charakteristik und demselben Transzendenzgrad über ihrem Primkörper (der durch die Charakteristik festgelegt ist) sind (ringtheoretisch) isomorph. Bei einem Körper von Charakteristik 0 mit überabzählbarem Transzendenzgrad ist dieser gleich der Kardinalität des Körpers. Körpertheoretisch bilden die komplexen Zahlen also den einzigen algebraisch abgeschlossenen Körper mit Charakteristik 0 und der Kardinalität des Kontinuums. Eine Konstruktion des Körpers der komplexen Zahlen ist mithilfe dieser Feststellung auch rein algebraisch etwa über ein Ultraprodukt möglich: Hierzu bilde man zu jedem endlichen Körper seinen algebraischen Abschluss und bilde von ihnen das Ultraprodukt bezüglich eines beliebigen freien Ultrafilters. Aus dem Satz von Łoś folgt, dass dieses Ultraprodukt ein algebraisch abgeschlossener Körper mit Charakteristik 0 und der Kardinalität des Kontinuums ist.

Spektraltheorie und Funktionalanalysis

Viele Ergebnisse der Spektraltheorie gelten für komplexe Vektorräume in größerem Umfang als für reelle. So treten z. B. komplexe Zahlen als Eigenwerte reeller Matrizen auf (dann jeweils zusammen mit dem konjugiert-komplexen Eigenwert). Das erklärt sich dadurch, dass das charakteristische Polynom der Matrix aufgrund der algebraischen Abgeschlossenheit von $\C$ über den komplexen Zahlen stets in Linearfaktoren zerfällt. Dagegen gibt es reelle Matrizen ohne reelle Eigenwerte, während das Spektrum eines beliebigen beschränkten Operators auf einem komplexen (mindestens eindimensionalen) Banachraum nie leer ist. In der Spektraltheorie auf Hilberträumen lassen sich Sätze, die im reellen Fall nur für selbstadjungierte Operatoren gelten, im komplexen Fall oft auf normale Operatoren übertragen.

Auch in weiteren Teilen der Funktionalanalysis spielen die komplexen Zahlen eine besondere Rolle. So wird etwa die Theorie der C*-Algebren meist im Komplexen betrieben, die harmonische Analyse befasst sich mit Darstellungen auf komplexen Hilberträumen.

Funktionentheorie und komplexe Geometrie

Das Studium differenzierbarer Funktionen auf Teilmengen der komplexen Zahlen ist Gegenstand der Funktionentheorie. Sie ist in vieler Hinsicht starrer als die reelle Analysis und lässt weniger Pathologien zu. Beispiele sind die Aussage, dass jede in einem Gebiet differenzierbare Funktion bereits beliebig oft differenzierbar ist, oder der Identitätssatz für holomorphe Funktionen.

Die Funktionentheorie ermöglicht oft auch Rückschlüsse auf rein reelle Aussagen, beispielsweise lassen sich manche Integrale mit dem Residuensatz berechnen. Ein wichtiges Einsatzgebiet dieser Methoden ist die analytische Zahlentheorie, die Aussagen über ganze Zahlen auf Aussagen über komplexe Funktionen zurückführt, häufig in der Form von Dirichletreihen. Ein prominentes Beispiel ist die Verbindung zwischen Primzahlsatz und riemannscher ζ-Funktion. In diesem Zusammenhang spielt die riemannsche Vermutung eine zentrale Rolle.

Die oben erwähnte Starrheit holomorpher Funktionen tritt noch stärker bei globalen Fragen in Erscheinung, d. h. beim Studium komplexer Mannigfaltigkeiten. So gibt es auf einer kompakten komplexen Mannigfaltigkeit keine nichtkonstanten globalen holomorphen Funktionen; Aussagen wie der Einbettungssatz von Whitney sind im Komplexen also falsch. Diese so genannte „analytische Geometrie“ (nicht mit der klassischen analytischen Geometrie von René Descartes zu verwechseln!) ist auch eng mit der algebraischen Geometrie verknüpft, viele Ergebnisse lassen sich übertragen. Die komplexen Zahlen sind auch in einem geeigneten Sinne ausreichend groß, um die Komplexität algebraischer Varietäten über beliebigen Körpern der Charakteristik 0 zu erfassen (Lefschetz-Prinzip).

Verwandte Themen

• Gaußsche Zahlen und Eisenstein-Zahlen sind eine Verallgemeinerung der ganzen Zahlen auf die komplexen Zahlen.
• Hyperkomplexe Zahlen verallgemeinern die algebraische Struktur der komplexen Zahlen.
• Komplexwertige Funktionen bilden komplexe Zahlen auf komplexe Zahlen ab.

Weblinks

 Commons: Komplexe Zahlen – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

• Schriften, Dokumentationen, Videos
  • Wikibooks: Komplexe Zahlen
  • Geschichte der komplexen Zahlen
  • Eine Facharbeit, die eine Einführung in die komplexen Zahlen gibt
  • Rechnen mit komplexen Zahlen
  • Anwendung der komplexen Zahlen in der Elektrotechnik
  • Dimensions: a math film. Einbettung der komplexen Zahlen in die Darstellung höherer Dimensionen (auch Chaostheorie) insb. Kapitel 5 und 6
• Programme zur direkten Ausführung
  • Java-Applet zur geometrischen Deutung
  • Java-Klasse, zur Berechnung komplexer Zahlen
  • Rechner für komplexe Zahlen