Semiprimideal

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Ein Semiprimideal ist ein Begriff aus der abstrakten Algebra. Er stellt eine Erweiterung des Begriffs des Primideals dar.

Definition[Bearbeiten]

Im Folgenden sei R ein Ring mit Eins. Dann ist ein Ideal Q von R ein Semiprimideal, wenn es eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt[1]:

  • Ist I \triangleleft R ein Ideal von R mit I^2 \subseteq Q, dann ist I \subseteq Q.
  • Q ist ein Durchschnitt von Primidealen.

Eigenschaften[Bearbeiten]

  • Ein Ring R heißt semiprim, wenn \{0\} ein Semiprimideal ist. Dann ist die Abbildung R\rightarrow \prod_P R/P,\, x\mapsto (x+P)_P, wobei das Produkt über alle Primideale gebildet wird, injektiv. Daher ist ein semiprimer Ring subdirektes Produkt primer Ringe, das heißt solcher, in denen das Nullideal prim ist.[2]
  • Ein Durchschnitt von Semiprimidealen ist wieder ein Semiprimideal.
  • Das Primradikal ist das kleinste Semiprimideal.

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Louis H. Rowen: Ring Theory. Band 1. Academic Press Inc., Boston u. a. 1988, ISBN 0-125-99841-4 (Pure and Applied Mathematics 127), Theorem 2.6.17 angewandt auf R/Q.
  2. Louis H. Rowen: Ring Theory. Band 1. Academic Press Inc., Boston u. a. 1988, ISBN 0-125-99841-4 (Pure and Applied Mathematics 127), § 2.2