Heaviside-Funktion

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Die Heaviside-Funktion, auch Theta-, Treppen-, Schwellenwert-, Stufen-, Sprung- oder Einheitssprungfunktion genannt, ist eine in der Mathematik und Physik oft verwendete Funktion. Sie ist nach dem britischen Mathematiker und Physiker Oliver Heaviside (1850–1925) benannt.

Allgemeines[Bearbeiten]

Die Heaviside-Funktion hat für jede beliebige negative Zahl den Wert null, andernfalls den Wert eins. Die Heaviside-Funktion ist mit Ausnahme der Stelle x=0 überall stetig. In Formeln geschrieben heißt das:

Heaviside-Funktion
\begin{align}
\Theta(x)\colon& \R \to \{0,1\} \\
\ & x \mapsto \begin{cases}
0 : & x < 0\\
1 : & x \ge 0
\end{cases}
\end{align}

Sie ist also die charakteristische Funktion des Intervalls [0,+\infty) der nichtnegativen reellen Zahlen.

In der Fachliteratur ist statt \Theta(x) auch eine davon abweichende Nomenklatur geläufig:

  • H(x), welche sich am Namen von Oliver Heaviside orientiert.
  • s(x) und \sigma(x) nach der Bezeichnung Sprungfunktion.
  • u(x) nach der Bezeichnung englisch unit step function.
  • Auch \epsilon(x) wird häufig verwendet.
  • In der Systemtheorie verwendet man auch das Symbol 1(x).

Die Funktion findet zahlreiche Anwendungen, etwa in der Nachrichtentechnik oder als mathematisches Filter: Multipliziert man punktweise jeden Wert einer beliebigen stetigen Funktion mit dem entsprechenden Wert der Heaviside-Funktion, ergibt sich eine Funktion, die links von x=0 den Wert Null hat (deterministische Funktion), rechts davon aber mit der ursprünglichen Funktion übereinstimmt.

Alternative Darstellungen[Bearbeiten]

Den Wert der Heaviside-Funktion an der Stelle x=0 kann man auch folgendermaßen festlegen. Zur Kennzeichnung der Definition schreibt man

\begin{align}
\Theta_c(x)\colon& \R \to \mathbb{K} \\
\,& x \mapsto \begin{cases}
0 : & x < 0\\
c : & x = 0\\
1 : & x > 0
\end{cases}
\end{align}

mit 0,1,c\in\mathbb{K}. Es kann \mathbb{K} also eine beliebige Menge darstellen, solange sie 0 und 1 enthält. Üblicherweise wird jedoch \mathbb{K} = [0,1] \subset \R verwendet.

Diese Definition ist charakterisiert durch die Eigenschaft, dass dann \Theta_c(0) = c ist.

Durch die Wahl c := \tfrac{1}{2} und folglich \Theta_\frac{1}{2}(0) = \textstyle\frac{1}{2} erreicht man, dass die Gleichungen

\Theta_\frac{1}{2}(x) = \tfrac{1}{2}(\sgn{(x)} + 1) und damit auch
\Theta_\frac{1}{2}( -x ) = 1 - \Theta_\frac{1}{2}(x)

für alle reellen x gültig sind.

Eine Integralrepräsentation der Heaviside-Sprungfunktion lautet wie folgt:

\Theta(x)=\lim_{ \varepsilon \to 0} -{1\over 2\pi i}\int_{-\infty}^\infty {1 \over \tau+i\varepsilon} e^{-i x \tau} \, \mathrm d \tau

Eine weitere Repräsentation ist gegeben durch:

\Theta(x)=\lim_{\varepsilon\to 0}{1\over\pi}\left[ \arctan \left( {x\over\varepsilon} \right)+{\pi\over 2} \right]

Eigenschaften[Bearbeiten]

Differenzierbarkeit[Bearbeiten]

Die Heaviside-Funktion ist weder im klassischen Sinne differenzierbar noch ist sie schwach differenzierbar. Dennoch kann man über die Theorie der Distributionen eine Ableitung definieren. Die Ableitung der Heaviside-Funktion in diesem Sinne ist die diracsche Delta-Distribution, die in der Physik zur Beschreibung von punktförmigen Quellen von Feldern Verwendung findet.

\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\Theta(x) = \delta(x)

Eine heuristische Begründung für diese Formel erhält man, wenn man \Theta (x) und  \delta (x) geeignet approximiert, z. B. durch

\Theta_\epsilon (x) := 0 für  x< (-\epsilon),
\Theta_\epsilon (x) := \left(\frac{1}{2} + \frac{x}{2\epsilon}\right) für |x|\le\epsilon,
\Theta_\epsilon (x) := 1 für x>\epsilon\,,

sowie

\delta_\epsilon (x):= 0 für |x| >\epsilon

und

\delta_\epsilon (x) := \frac{1}{2\epsilon} für |x|\le\epsilon\,.

Integration[Bearbeiten]

Die Stammfunktion der Heaviside-Sprungfunktion erhält man durch partielle Integration und Anwendung der Faltungseigenschaft der Delta-Distribution:

\int\Theta(x) \, \mathrm dx = \Theta(x)x + C

Siehe auch[Bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten]