Strahlensatz

Der Strahlensatz (man spricht auch vom ersten, zweiten und dritten Strahlensatz) oder Vierstreckensatz gehört zu den wichtigsten Aussagen der Elementargeometrie. Er befasst sich mit Streckenverhältnissen und ermöglicht es bei vielen geometrischen Überlegungen, unbekannte Streckenlängen auszurechnen.

In der synthetischen Geometrie können die ersten beiden Strahlensätze mit Einschränkungen sinngemäß auf affine Translationsebenen verallgemeinert werden und gelten uneingeschränkt für desarguesche Ebenen. Dagegen gilt der dritte Strahlensatz, der in der synthetischen Geometrie auch Dreistrahlsatz genannt wird, im Allgemeinen nur für pappussche Ebenen, → siehe dazu Affine Translationsebene#Strahlensatz und Streckungen.

Formulierung der Strahlensätze

Wenn zwei durch einen Punkt (Scheitel) verlaufende Geraden von zwei Parallelen geschnitten werden, die nicht durch den Scheitel gehen, dann gelten die folgenden Aussagen:

1. Es verhalten sich je zwei Abschnitte auf der einen Geraden so zueinander wie die ihnen entsprechenden Abschnitte auf der anderen Geraden, also zum Beispiel |ZA| : |AA'| = |ZB| : |BB'| oder |ZA| : |ZA'| = |ZB| : |ZB'|.
2. Es verhalten sich die Abschnitte auf den Parallelen wie die ihnen entsprechenden, vom Scheitel aus gemessenen Strecken auf jeweils derselben Geraden (z. B. |AB| : |A'B'| = |ZA| : |ZA'| oder |A'B'| : |AB| = |ZB'| : |ZB|).
3. Es stehen je zwei Abschnitte auf den Parallelen, die einander entsprechen, in gleichem Verhältnis zueinander (z. B. |BC| : |B'C'| = |CA| : |C'A'| oder |BC| : |AC| = |B'C'| : |A'C'|). Dieser Strahlensatz setzt im Gegensatz zu den ersten beiden Strahlensätzen mindestens drei Geraden voraus.

Die beiden Skizzen berücksichtigen, dass der Kreuzungspunkt Z außerhalb oder innerhalb der beiden parallelen Geraden liegen kann. Im ersten Fall spricht man gelegentlich von einer „V-Figur“ (linke Skizze), im zweiten von einer „X-Figur“ (rechte Skizze).

Skizze nach Satz 3

Der erste Strahlensatz bezieht sich also auf die Verhältnisse von Strahlenabschnitten, der zweite auf die Verhältnisse von Strahlen- und Parallelenabschnitten und der dritte auf die Verhältnisse von Parallelenabschnitten.

Bemerkung (Umkehrung des Strahlensatzes):

Ist Eigenschaft 1 erfüllt, so kann man auf parallele Geraden schließen. Ist dagegen Eigenschaft 2 gegeben, so ist ein entsprechender Schluss auf Parallelität nicht möglich.

Der Name Strahlensatz erklärt sich aus der Tatsache, dass man oft nur den Spezialfall betrachtet, in dem die beiden Parallelen auf derselben Seite des Scheitels liegen („V-Figur“). Denn dann benötigt man zur Formulierung keine zwei sich in einem Scheitel schneidenden Geraden, sondern lediglich zwei Strahlen mit gemeinsamem Ursprung.

Verwandte geometrische Konzepte

Der Strahlensatz steht in engem Zusammenhang mit dem Begriff der geometrischen Ähnlichkeit. Die Dreiecke ZAB und ZA'B' sind in jeder der drei Skizzen sowie ZAC und ZA'C' in der Skizze nach Satz 3 (in „Formulierung der Strahlensätze“) zueinander ähnlich. Dies bedeutet insbesondere, dass entsprechende Seitenverhältnisse in diesen Dreiecken übereinstimmen – eine Aussage, aus der sich unmittelbar der Strahlensatz ergibt.

Siehe auch: Ähnlichkeitssätze

Ein weiteres Konzept, das mit dem Strahlensatz zusammenhängt, ist das der zentrischen Streckung (einer speziellen geometrischen Abbildung). In den angesprochenen drei Skizzen bildet die linke beispielsweise die zentrische Streckung mit Zentrum Z und Streckungsfaktor (Abbildungsfaktor) 1,5 die Punkte A und B auf die Punkte A' bzw. B' ab. Entsprechendes gilt für die mittige Skizze; hier ist der Streckungsfaktor gleich -0,5.

Eine ähnlich enge Beziehung besteht zur Vektorrechnung. Die Rechenregel

$\lambda \left({\vec {a}}+{\vec {b}}\right)=\lambda {\vec {a}}+\lambda {\vec {b}}$

für zwei Vektoren ${\vec {a}},{\vec {b}}$ und einen reellen Skalar $\lambda$ ist nur eine andere Ausdrucksweise für den Strahlensatz, denn es gilt dann:

${\frac {\|\lambda \cdot {\vec {a}}\|}{\|{\vec {a}}\|}}={\frac {\|\lambda \cdot {\vec {b}}\|}{\|{\vec {b}}\|}}={\frac {\|\lambda \cdot ({\vec {a}}+{\vec {b}})\|}{\|{\vec {a}}+{\vec {b}}\|}}=|\lambda |$.

Hierbei bezeichnet $\|{\vec {x}}\|$ die Länge (euklidische Norm) des Vektors ${\vec {x}}$

Einfaches Anwendungsbeispiel

Skizze 1: Maßstab und Pyramide

Skizze 2: Strahlensatz

Ein einfaches Beispiel für die Anwendung des Strahlensatzes soll auf den antiken griechischen Philosophen und Mathematiker Thales von Milet zurückgehen. Dieser habe mit Hilfe eines Stabes durch Messung der Schattenlänge die Höhe der ägyptischen Cheopspyramide ermittelt. In anderen Sprachen wird der Strahlensatz daher oft auch als Satz des Thales bezeichnet.

Die folgende Beispielrechnung ermittelt die Höhe der Cheopspyramide mit Hilfe des Strahlensatzes, sie entspricht jedoch vermutlich nicht der exakten Berechnung des Thales selbst:

Zunächst bestimmt man die Seitenlänge der Pyramide und anschließend die Länge des Schattens eben jener. Anschließend steckt man einen Stab senkrecht in den Boden und vermisst dessen Höhe und dessen Schattenlänge. Man erhält dann die folgenden Werte:

• Höhe des Stabes: $A=1{,}63\,\mathrm {m}$
• Schattenlänge des Stabes: $B=2{,}00\,\mathrm {m}$
• Direkt messbare Schattenlänge der Pyramide: $65\,\mathrm {m}$
• Seitenlänge der Pyramide: $230\,\mathrm {m}$
• Gesamte Schattenlänge der Pyramide: $C=65\,\mathrm {m} +{\tfrac {1}{2}}\cdot 230\,\mathrm {m}$
• Gesuchte Höhe der Pyramide: $D$

Mit Hilfe des Strahlensatzes (Skizze 2) stellt man die folgende Gleichung auf:

${\frac {D}{A}}={\frac {C}{B}}$

Die Länge der Seite $C$ des Dreiecks setzt sich dabei aus der halben Seitenlänge und der Länge des Schattens der Pyramide zusammen. Umgestellt nach D erhielt man:

$D={\frac {A\cdot C}{B}}={\frac {1{,}63\,\mathrm {m} \cdot \left(65\,\mathrm {m} +{\frac {1}{2}}\cdot 230\,\mathrm {m} \right)}{2{,}00\,\mathrm {m} }}={\frac {1{,}63\,\mathrm {m} \cdot 180\,\mathrm {m} }{2{,}00\,\mathrm {m} }}={\underline {146{,}7\,\mathrm {m} }}$

Beweis

Die in Satz 1 aufgestellten Streckenverhältnisse lassen sich für flächengleiche Dreiecke in der Strahlensatzfigur herleiten. Die Sätze 2 und 3 sowie die Umkehrung von Satz 1 ergeben sich dann durch die Anwendung von Satz 1 bzw. der schon bewiesenen Sätze.

Satz 1

Skizze zum Beweis von Satz 1

Die Lote von A' bzw. B' auf die Gerade $AB$ haben die gleiche Länge, da $AB$ parallel zu $A'B'$ ist. Diese Lote sind Höhen der Dreiecke ABB' bzw. ABA', welche die zugehörige Grundseite $[AB]$ gemeinsam haben. Für die Flächen gilt daher $|\triangle ABB'|=|\triangle ABA'|$ und weiter $|\triangle ABB'|+|\triangle ZAB|=|\triangle ABA'|+|\triangle ZAB|$ oder flächenvereint $|\triangle ZB'A|=|\triangle ZA'B|$.

Somit gilt dann auch:

${\frac {|\triangle ZAB|}{|\triangle ABB'|}}={\frac {|\triangle ZAB|}{|\triangle ABA'|}}$ und ${\frac {|\triangle ZAB|}{|\triangle ZAB'|}}={\frac {|\triangle ZAB|}{|\triangle ZBA'|}}$

Das Anwenden der Standardformel zur Flächenberechnung von Dreiecken (${\tfrac {g\cdot h}{2}}$) liefert dann

${\frac {|ZB|\cdot |AF|}{|BB'|\cdot |AF|}}={\frac {|ZA|\cdot |EB|}{|AA'|\cdot |EB|}}$ und ${\frac {|ZB|\cdot |AF|}{|ZB'|\cdot |AF|}}={\frac {|ZA|\cdot |EB|}{|ZA'|\cdot |EB|}}$

Kürzen liefert ${\tfrac {|ZB|}{|BB'|}}={\tfrac {|ZA|}{|AA'|}}$ und ${\tfrac {|ZB|}{|ZB'|}}={\tfrac {|ZA|}{|ZA'|}}$.

Löst man beides nach ${\tfrac {|ZB|}{|ZA|}}$ auf und setzt die rechten Seiten gleich ergibt sich

${\frac {|ZB'|}{|ZA'|}}={\frac {|BB'|}{|AA'|}}$

oder umgeformt für die Streckenverhältnisse auf je einem Strahl:

${\frac {|ZB'|}{|BB'|}}={\frac {|ZA'|}{|AA'|}}$.

Satz 1 – Beweis nach Archimedes

Außer dem oben angegebenen Beweis, der auf eine Darstellung aus Euklids Elementen (6. Buch, L.2 engl.) zurückgeht, waren in der griechischen Antike schon kürzere und elegantere Beweise möglich. Es reicht, die Gleichheit für einen Fall der möglichen Verhältnisse zu zeigen. Die anderen ergeben sich daraus unmittelbar. Euklid selbst beweist auch nur einen Fall.

Hier wird der Beweis nicht zitiert, sondern lediglich gemäß der Archimedischen Methodenlehre ausgeführt:

Mit den üblichen Seiten- und Winkelbezeichnungen für die Dreiecke ABZ und A'B'Z entsprechend der Skizze oben (zur Formulierung der Strahlensätze) wird gezeigt, dass a:a' = b:b' gilt. Die Winkel $\alpha$ und $\alpha$' sowie $\beta$ und $\beta$' sind als Stufenwinkel gleich. Bezeichne die Höhen, die durch das Lot von Z auf die Geraden gegeben sind, mit h und h' und deren Fußpunkte mit H und H'. Da $\alpha$ gleich $\alpha$' haben 'ferne' Kathete und Hypotenuse in den beiden rechtwinkligen Dreiecken AHZ und A'H'Z dasselbe Verhältnis zueinander. (In 'moderner' Formulierung: $\sin(\alpha )$ gleich Gegenkathete von $\alpha$ zu Hypotenuse)

Also h:b = h':b' und daher h:h' = b:b'.

Aus $\beta$ gleich $\beta$' folgt durch entsprechende Betrachtung der Dreiecke HBZ und H'B'Z die Gleichung h:a = h':a' bzw h:h' = a:a'. Und schließlich a:a' = b:b'. Was zu beweisen war.

Satz 2

Skizze zum Beweis von Satz 2

Konstruiere eine zusätzliche Parallele zu $ZB'$ durch A. Diese Parallele schneidet $A'B'$ in G. Somit gilt nach Konstruktion $|AB|=|B'G|$ und wegen Satz 1 gilt für die Strahlen durch B außerdem

${\frac {|ZA|}{|ZA'|}}={\frac {|B'G|}{|A'B'|}}$ worin sich $|B'G|$ durch $|AB|$ ersetzen lässt: ${\frac {|ZA|}{|ZA'|}}={\frac {|AB|}{|A'B'|}}$

Satz 3

Aufgrund von Satz 2 gilt:

${\frac {|BC|}{|B'C'|}}={\frac {|ZC|}{|ZC'|}}={\frac {|CA|}{|C'A'|}}$

Also hat man ${\tfrac {|BC|}{|B'C'|}}={\tfrac {|CA|}{|C'A'|}}$ oder umgestellt auch ${\tfrac {|BC|}{|CA|}}={\tfrac {|B'C'|}{|C'A'|}}$.

Umkehrung von Satz 1

Skizze zur Umkehrung von Satz 1

Angenommen $AB$ und $A'B'$ wären nicht parallel. Dann gibt es eine Parallele zu $AB$, die durch den Punkt $B'$ geht und den Strahl $ZA$ in $A'_{0}\neq A'$ (*) schneidet. Da nach Voraussetzung ${\tfrac {|ZA'|}{|ZA|}}={\tfrac {|ZB'|}{|ZB|}}$ gilt, ergibt sich

$|ZA'|={\frac {|ZB'|\cdot |ZA|}{|ZB|}}$

Andererseits gilt nach dem ersten Strahlensatz auch

$|ZA'_{0}|={\frac {|ZB'|\cdot |ZA|}{|ZB|}}$.

Dies bedeutet, dass $A'$ und $A'_{0}$ beide auf dem Strahl $ZA$ liegen und den gleichen Abstand von $Z$ haben. Damit sind die beiden Punkte jedoch identisch, also $A'=A'_{0}$. Dies ist ein Widerspruch dazu, dass es sich nach Bedingung (*) um 2 verschiedene Punkte handeln soll. Also führt die Annahme der Nichtparallelität zu einem Widerspruch und kann daher nicht richtig sein; oder anders ausgedrückt: Es muss $AB\parallel A'B'$ gelten.

Anwendungen und Verallgemeinerungen

• Daumensprung, Schätzen der Entfernung nach dem Strahlensatz mittels des eigenen Daumens
• Jakobsstab und Försterdreieck sind einfache Messgeräte nach dem Prinzip des Strahlensatzes.
• In der Strahlenoptik beschreiben die Strahlensätze die Vergrößerungsverhältnisse bei einer Lochkamera und – zusammen mit der Linsengleichung – bei einer fehlerfreien dünnen Linse.
• Die Aussagen des ersten und zweiten Strahlensatzes können in der synthetischen Geometrie auf bestimmte nichtdesarguesche Ebenen, die affinen Translationsebenen, verallgemeinert werden.
• Die Konstruktion einer Dezimalzahl, als praktisches Anwendungsbeispiel des dritten Strahlensatzes in Kombination mit Zahlenstrahlen

Literatur

• Wendelin Degen, Lothar Profke: Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie. Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
• Hans Schupp: Elementargeometrie. Schöningh, Paderborn 1977, ISBN 3-506-99189-2, S. 124 ff. (Uni-Taschenbücher 669 Mathematik).
• Manfred Leppig (Hrsg.): Lernstufen Mathematik. 1. Auflage, 4. Druck. Girardet, Essen 1981, ISBN 3-7736-2005-5, S. 157–170.
• Hartmut Wellstein, Peter Kirsche: Elementargeometrie. Eine aufgabenorientierte Einführung. Vieweg+Teubner Verlag 2009, ISBN 978-3-8348-0856-1, S. 36–41

Weblinks

Commons: intercept theorem – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

• Symmetrie und Ähnlichkeit, Strahlensätze – Sinusmaterialien zum Strahlensatz (pdf)
• Strahlensätze
• Alexander Bogomolny: Thales' Theorems und insbesondere Thales' Theorem auf cut-the-knot.org