Strömung nach Bernoulli und Venturi

Als Strömung nach Bernoulli und Venturi bezeichnet man von Giovanni Battista Venturi und Daniel Bernoulli im 18. Jahrhundert entwickelte Theorien über die Strömungsmechanik, die aufeinander aufbauen und die Grundlage für wichtige aero- und hydrodynamische Berechnungen darstellen.

Venturi-Effekt

Bei sich verengendem Querschnitt steigt die Strömungsgeschwindigkeit, der statische Druck sinkt

Der Italiener Giovanni Battista Venturi entdeckte das Kontinuitätsgesetz für inkompressible Fluide: Bei gegebenem Volumenstrom verhält sich die Fließgeschwindigkeit einer inkompressiblen Rohrströmung umgekehrt proportional zum Rohrquerschnitt. Das heißt, die Geschwindigkeit des Fluids ist dort am größten, wo der Querschnitt des Rohres am kleinsten ist.

Woher kommt die Kraft, das Fluid an den Übergangsstellen zu beschleunigen bzw. abzubremsen? Die Lösung, das Gesetz von Bernoulli, berücksichtigt die Newtonschen Axiome und die Energieerhaltung.

Gesetz von Bernoulli

Venturi-Strömungsmesser

Daniel Bernoulli entdeckte die Beziehung zwischen der Fließgeschwindigkeit eines Fluids und dessen Druck. Er fand heraus, dass in einem strömenden Fluid (Gas oder Flüssigkeit) ein Geschwindigkeitsanstieg von einem Druckabfall begleitet wird.

Herleitung aus dem Energiesatz

Der Massenpunkt im Potentialfeld

Betrachtet man einen Massenpunkt konstanter Masse m, der sich nur auf Grund eines stationären Kraftfeldes ${\vec {F}}$ bewegt, das sich als Gradient eines Skalarpotentials $\Phi =\Phi ({\vec {r}}):\ -m{\vec {\nabla }}\Phi ={\vec {F}}$ schreiben lässt, genügt er der Bewegungsgleichung:

${\dot {\vec {v}}}=-{\vec {\nabla }}\Phi .$

Hier ist ${\vec {v}}$ die Geschwindigkeit und ${\dot {\vec {v}}}={\tfrac {d{\vec {v}}}{dt}}$ die Beschleunigung. In der klassischen Physik werden viele Prozesse mit einer Gleichung von diesem Typ beschrieben. Beispiele sind:

• Satellitenbewegungen, hier ist $\Phi$ das Gravitionspotential und ${\vec {\nabla }}\Phi ={\vec {g}}$ die Erdbeschleunigung
• Harmonische Schwingungen, hier ist $\Phi$ das Potential aus der Rückstellkraft
• Elektrisch geladene Teilchen im elektrostatischen Feld. $\Phi$ ist das elektrische Potential des Feldes.

Auch Linearkombinationen dieser Prozesse werden durch die Bewegungsgleichung beschrieben.

Multipliziert man die Bewegungsgleichung skalar mit ${\vec {v}},$ erhält man nach Integrationen mit der Substitutionsregel die Gleichungen für die spezifische Energie:

${\frac {v^{2}}{2}}+\Phi ={\mbox{const.}}$

Die Summe aus kinetischer $(v^{2}/2)$ und potentieller $(\Phi )$ spezifischer Energie ist konstant.

Die Navier-Stokes-Gleichungen

→ Hauptartikel: Navier-Stokes-Gleichungen

Die Bewegungsgleichung der Strömungslehre ist die Navier-Stokes-Gleichung. Für Stationarität $(p=p({\vec {r}}))$ und Reibungsfreiheit $(\eta =\lambda =0)$ hat sie die gleiche Form wie oben allgemein. Der Druck ist hier das Skalarpotential des Kraftfeldes. Die obige Forderung nach einem Massepunkt konstanter Masse wird durch eine konstante Dichte der Strömung $\rho$ erreicht.

Die Energiegleichung leitet sich wie oben ab und ist das Gesetz von Bernoulli:

$\rho {\frac {v^{2}}{2}}+p={\mbox{const}}.$

Der Term $\,{\tfrac {1}{2}}\,\rho v^{2}\,$ heißt auch dynamischer Druck oder Staudruck. Seine Summe mit dem hydrostatischen Druck $p$ ist konstant. ${\tfrac {p}{\rho }}$ ist als Potential gleichwertig wie die im vorigen Abschnitt diskutierten Potentiale. Befindet sich die Strömung z. B. im Schwerefeld der Erde, addiert sich zu dem Gesetz von Bernoulli das Geopotential.

Aus der Herleitung folgt, dass das Gesetz von Bernoulli für Strömungen gilt, die alle folgenden Kriterien erfüllen:

• Inkompressibilität
• Gültigkeit nur entlang einer Trajektorie (Massenpunkt)
• Stationarität (der Druck ist nur eine Funktion des Ortes)
• Reibungsfreiheit sowie keine weiteren Kräfte (z. B. Corioliskraft)

Direkte Betrachtung der Bewegungsgleichung

Die Impulsadvektion in der Navier-Stokes-Gleichung schreibt sich nach der Weber-Transformation:

$({\vec {v}}\cdot {\vec {\nabla }}){\vec {v}}={\vec {\nabla }}\left({\frac {v^{2}}{2}}\right)-{\vec {v}}\times ({\vec {\nabla }}\times {\vec {v}}).$

Mit der zusätzlichen Annahme dass die Strömung wirbelfrei $({\vec {\nabla }}\times {\vec {v}}=0)$ ist, wird die Navier-Stokes-Gleichung für stationäre, reibungsfreie Strömung konstanter Dichte:

${\vec {\nabla }}\left(\rho {\frac {v^{2}}{2}}+p\right)=0.$

Diese Gleichung lässt sich nun direkt entlang eines beliebigen Weges integrieren zum Gesetz von Bernoulli:

$\rho {\frac {v^{2}}{2}}+p={\mbox{const.}}$

Folgerung: Ist die Strömung wirbelfrei, so gilt das Gesetz von Bernoulli nicht nur entlang einer Trajektorie wie aus der Energetik abgeleitet, sondern in der gesamten Strömung.

Antwort auf die offenen Fragen des Absatzes Venturi-Effekt

Mit den obenstehenden Herleitungen sind die offenen Fragen zu beantworten:

1. Die Kraft zur Beschleunigung der Fluidteilchen in die Engstelle hinein ist die Druckgradientkraft.
2. Der Energiesatz bleibt gewahrt. Die Änderung der kinetischen Energie bei Querschnittsänderung des Rohres korrespondiert mit der Änderung des Drucks als Form der potentiellen Energie.

Anwendung

Änderung der Luftdichte mit der Geschwindigkeit. Bis Mach 0,3 ist sie kleiner als 5 %.

Dieses Prinzip findet man im Alltag in vielen Dingen wieder. Hier einige Beispiele:

• die Wasserstrahlpumpe.
• der Ansaugtrichter eines Vergasers. Nach ihrem Erfinder sind außerdem der Venturi-Strömungsmesser und die Venturi-Düse benannt.
• das Prandtl'sche Staurohr, welches u.a. zur Geschwindigkeitsmessung eines Flugzeugs verwendet wird. Wegen der Forderung der Inkompressibilität liefert es zuverlässige Ergebnisse nur im Unterschallflug (z. B. Sportflugzeug).
• die Lippenbremse, eine Atemtechnik bei Asthma bronchiale und COPD.
• Die Umströmung einer Tragfläche genügt mit der gleichen Einschränkung dem Bernoulli-Gesetz. Die Gleichung beschreibt ausreichend gut den Auftrieb von Flugzeug-Tragflächen bis zu Geschwindigkeiten von ca. 300 km/h (siehe Grafik).
• Entlüften von Schiffen durch Windhutzen und Dorade-Lüfter
• Ökologische Energieversorgung durch vertikale Windräder im Pearl River Tower (einem Hochhaus in Guangzhou).
• der Zumischer bei der Feuerwehr dient zur Erzeugung von Schaum bei Feuerwehreinsätzen.

Für diese Anwendungen gilt:

• Da sie keine Druckänderung entlang einer Trajektorie beschreiben, ist hierfür die Wirbelfreiheit der gesamten Strömung zu fordern.
• Das Gesetz von Bernoulli beschreibt keine Kausalität, aber eine Relation zwischen Geschwindigkeits- und Druckfeld.

Siehe auch

• Bernoullische Energiegleichung
• Ausflussgeschwindigkeit (Anwendung der Bernoulli-Gleichung)
• Lavaldüse
• Coandă-Effekt

Weblinks

Commons: Strömung nach Bernoulli und Venturi – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Literatur

• George K. Batchelor: An introduction to fluid mechanics. 1st Cambridge mathematical edition, 14th print. Cambridge University Press, Cambridge u. a. 2010, ISBN 978-0-521-66396-0.
• Dieter Meschede (Hrsg.): Gerthsen Physik. 24., überarbeitete Auflage. Springer, Heidelberg u. a. 2010, ISBN 978-3-642-12893-6.