Lavaldüse

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Lavaldüse im Schnitt mit Flussrichtung des Mediums, Strömungsgeschwindigkeit (v), Druck (p) und Temperatur (T)

Die Lavaldüse ist eine von Ernst Körting 1878 für Dampfstrahlapparate und dem Schweden Carl Gustav Patrik de Laval 1883 für die Beaufschlagung von Dampfturbinen mit Wasserdampf unabhängig voneinander entwickelte Düse. Eine Lavaldüse ist ein Strömungsorgan mit einem zunächst konvergenten und anschließenden divergenten Querschnitt, wobei der Übergang von einem zum anderen Teil allmählich erfolgt. Die Querschnittsfläche an jeder Stelle ist kreisförmig, wodurch ein durchströmendes Fluid auf Überschallgeschwindigkeit beschleunigt werden kann, ohne dass es zu starken Verdichtungsstößen kommt. Die Schallgeschwindigkeit wird genau im engsten Querschnitt der Düse erreicht.

Lavaldüsen werden bereits seit der V2 und auch heute bei Raketentriebwerken verwendet.

Herleitung der Form[Bearbeiten]

Die Eulersche Bewegungsgleichung:

\begin{align}
          c                \cdot \frac{dc}   {dx}
    & = - \frac{1}{\rho}   \cdot \frac{dp}   {dx}\\
    & = - \frac{1}{\rho}   \cdot \frac{dp}   {d\rho} \cdot \frac{d\rho}{dx}
\end{align}

mit

ergibt zusammen mit der Zustandsgleichung \frac{dp}{d \rho} = a^2:

c \cdot \frac{dc}{dx} = - \frac{a^2}{\rho} \frac{d\rho}{dx}

mit der von der Dichte abhängigen Schallgeschwindigkeit a.

Einsetzen der Mach-Zahl, die das Verhältnis der Strömungsgeschwindigkeit eines Mediums zu seiner Schallgeschwindigkeit bezeichnet:

\text{Ma} = \frac{c}{a},

liefert:

(1) \Rightarrow \frac{1}{\rho} \cdot \frac{d\rho}{dx} = -\text{Ma}^2 \cdot \frac{1}{c} \cdot \frac{dc}{dx},

Diese Gleichung sagt aus, dass die relative Dichteänderung längs des Stromfadens x proportional ist zur relativen Geschwindigkeitsänderung mit dem Proportionalitätsfaktor \text{Ma}^2. Aus dem quadratischen Proportionalitätsfaktor folgt, dass

  • bei einer Unterschallströmung (Ma < 1) die relative Dichteänderung (wesentlich) kleiner als die relative Geschwindigkeitsänderung ist
  • bei einer Überschallströmung (Ma > 1) die relative Dichteänderung (wesentlich) größer als die relative Geschwindigkeitsänderung ist.

Ferner muss noch die Kontinuitätsgleichung betrachtet werden:

\begin{alignat}{2}
                & \rho \cdot c \cdot A                             && = \text{konst}\\
\Leftrightarrow & \ln \rho + \ln c + \ln A                         && = \ln(\text{konst})\\
\Leftrightarrow & \frac{d\rho}{\rho} + \frac{dc}{c} + \frac{dA}{A} && = 0
\end{alignat}

Differenziert man längs des Stromfadens, so ergibt sich

\Rightarrow \frac{1}{\rho} \cdot \frac{d\rho}{dx} + \frac{1}{c} \cdot \frac{dc}{dx} + \frac{1}{A} \cdot \frac{dA}{dx} = 0

Unter Berücksichtigung von (1) folgt:

\Rightarrow \frac{1}{c} \cdot \frac{dc}{dx} = \frac{1}{\text{Ma}^2 - 1} \cdot \frac{1}{A} \cdot \frac{dA}{dx}
Lavaldüse

Nimmt man die Querschnittsfläche A(x) als gegeben, c(x) und Ma(x) hingegen als unbekannt an, so ermöglicht die letzte Gleichung die folgende qualitative Diskussion der Strömung durch eine Düse.

Will man eine Strömung beschleunigen, also dc/dx > 0, so folgt aus der letzten Gleichung die Form der Lavaldüse:

  • Einlauf mit Unterschallströmung (Ma < 1): hier muss dA/dx < 0 sein, die Düse muss sich also verengen (konvergenter Teil)
  • im engsten Querschnitt wird Schallströmung (Ma = 1) erreicht: hier muss die Düse einen konstanten Querschnitt haben
  • weitere Beschleunigung auf Überschallströmung (Ma > 1) im Auslauf: hier muss dA/dx > 0 sein, die Düse muss sich also erweitern (divergenter Teil).

Siehe auch[Bearbeiten]