Rayleigh-Jeans-Gesetz

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Vergleich des Rayleigh-Jeans-Gesetzes (blau) mit dem wienschen (rot) und dem planckschen Strahlungsgesetz (schwarz), für einen Schwarzen Körper der Temperatur 1000 K.

Das Rayleigh-Jeans-Gesetz beschreibt die Abhängigkeit der Strahlungsintensität I eines Schwarzen Körpers von der Lichtwellenlänge \lambda bei einer gegebenen Temperatur im Rahmen der klassischen Elektrodynamik. Es wurde erstmals 1900 von dem englischen Physiker John William Strutt, 3. Baron Rayleigh beschrieben,[1] wobei die von Rayleigh beschriebene Formel noch einen falschen Vorfaktor aufwies. Die korrekte Formel wurde fünf Jahre später von dem englischen Physiker, Astronom und Mathematiker Sir James Jeans veröffentlicht.[2]

Das Rayleigh-Jeans-Gesetz liefert brauchbare Werte bei niedrigen Frequenzen, also großen Wellenlängen (siehe Bild). Bei kleinen Wellenlängen liefert es viel zu große Werte, welche die Gesamtstrahlung, integriert über den gesamten Wellenlängenbereich, gegen unendlich streben lassen. Dieses Verhalten wurde als Ultraviolett-Katastrophe bezeichnet.[3] Das Verhalten bei kleinen Wellenlängen, also hohen Frequenzen (und damit entsprechend hoher Energie), wird in guter Näherung durch das wiensche Strahlungsgesetz beschrieben.

Erst Max Planck fand die richtige Erklärung und fasste mit dem planckschen Strahlungsgesetz das Rayleigh-Jeans-Gesetz und das wiensche Strahlungsgesetz zusammen.

Wählt man hc/\lambda \ll k_\mathrm{B} T, folgt aus dem planckschen Strahlungsgesetz

I(\lambda) \, \mathrm{d}\lambda = \frac{2 \pi h c^2}
{\lambda^5} \frac{1}{e^{\left(\frac{hc}{\lambda k_\mathrm{B} T}\right)}-1}\mathrm{d}
\lambda\ .

unter der für kleine Exponenten gültigen Näherung e^x \approx 1+x unmittelbar das Rayleigh-Jeans-Gesetz:

I(\lambda) \, \mathrm{d}\lambda = \frac{2 \pi c k_\mathrm{B} T}
{\lambda^4}\mathrm{d}
\lambda .

Dabei ist T die Temperatur des Schwarzkörpers, c die Vakuumlichtgeschwindigkeit und k_\mathrm{B} die Boltzmann-Konstante.

Die nebenstehenden Diagramme zeigen einen Vergleich der drei Strahlungsformeln nach Planck, Wien und Rayleigh-Jeans (oben in linearer, unten in doppeltlogarithmischer Darstellung). Für große Wellenlängen zeigt sich eine gute Übereinstimmung der Vorhersagen nach Rayleigh-Jeans und Planck, zu kleineren Wellenlängen hin weicht Rayleigh-Jeans zunehmend stark nach oben ab. Wien hingegen beschreibt den Grenzfall kleiner Wellenlängen (hier λ < 5 μm) sehr gut, liegt aber für größere Wellenlängen deutlich zu niedrig.

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1.  L. Rayleigh: Remarks upon the Law of Complete Radiation. In: Phil. Mag.. 49, 1900, S. 539–540.
  2.  J. H. Jeans: On the partition of energy between matter and Aether. In: Phil. Mag.. 10, 1905, S. 91–98.
  3. Die physikalisch unsinnige Divergenz des Rayleigh-Jeans-Gesetzes bei hohen Strahlungsfrequenzen wurde erstmals im Jahr 1905 (unabhängig voneinander) von Einstein, Rayleigh und Jeans beschrieben. Der Begriff Ultraviolett-Katastrophe wurde erstmals 1911 von Paul Ehrenfest verwendet:
     P. Ehrenfest: Welche Züge der Lichtquantenhypothese spielen in der Theorie der Wärmestrahlung eine wesentliche Rolle?. In: Annalen der Physik. 341, Nr. 11, 1911, S. 91–118.