Unzerlegbarer Modul

Ein unzerlegbarer Modul ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Algebra. Es handelt sich um eine besondere Klasse von Moduln, die sich nicht in eine Direkte Summe zerlegen lassen. Unter bestimmten Voraussetzungen kann man zeigen, dass jeder Modul eine direkte Summe von unzerlegbaren Moduln ist (siehe: Satz von Krull-Remak-Schmidt). Jedoch gibt es auch Ringe und Moduln, für die das nicht der Fall ist.

Definition

Ein $R$-Modul $M\neq 0$ über einem Ring $R$ heißt unzerlegbar, wenn sich $M$ nicht als direkte Summe zweier von Null verschiedener $R$-Moduln $M_{1}$ und $M_{2}$ schreiben lässt.

Diese Definition überträgt sich sinngemäß auf beliebige abelsche Kategorien.

Beispiele

• Ein $K$-Vektorraum über einem Körper $K$ ist genau dann unzerlegbar, wenn er eindimensional ist.
• Jeder einfache $R$-Modul ist unzerlegbar, aber nicht umgekehrt.
• Ein Modul endlicher Länge ist genau dann unzerlegbar, wenn sein Endomorphismenring lokal ist.