Vollkommen perfektes magisches Quadrat

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Wechseln zu: Navigation, Suche
Vollkommen perfektes magisches Quadrat vom Parshva Jaina Tempel in Khajuraho
7 12 1 14
2 13 8 11
16 3 10 5
9 6 15 4
Transkription der obigen
Indischen Ziffern

Ein vollkommen perfektes magisches Quadrat ist ein magisches Quadrat mit folgenden Zusatzeigenschaften:

  1. die Ordnung der Quadrate ist ein Vielfaches von 4
  2. jedes 2×2-Unterquadrat (einschließlich jener, die durch Umbruch an den Seiten erzeugt werden können) ergeben dieselbe Summe 2·(1 + n2)
  3. für jeden Wert a liegt das Komplement 1 + n2 − a dieses Wertes diagonal um n/2 versetzt

Beispiele[Bearbeiten]

384 vollkommen perfekte magische Quadrate in 1 bis 16 Darstellung und Farbkodierung: (16 & 1) – (9 & 8) – ( 5 & 12) – (3 & 14) – (2 & 15):

02 11 05 16 02 11 05 16 02 11
13 08 10 03 13 08 10 03 13 08
12 01 15 06 12 01 15 06 12 01
07 14 04 09 07 14 04 09 07 14
02 11 05 16 02 11 05 16 02 11
13 08 10 03 13 08 10 03 13 08
12 01 15 06 12 01 15 06 12 01
07 14 04 09 07 14 04 09 07 14
02 11 05 16 02 11 05 16 02 11
13 08 10 03 13 08 10 03 13 08
Jaina-Quadrat
02 11 14 07 02 11 14 07 02 11
13 08 01 12 13 08 01 12 13 08
03 10 15 06 03 10 15 06 03 10
16 05 04 09 16 05 04 09 16 05
02 11 14 07 02 11 14 07 02 11
13 08 01 12 13 08 01 12 13 08
03 10 15 06 03 10 15 06 03 10
16 05 04 09 16 05 04 09 16 05
02 11 14 07 02 11 14 07 02 11
13 08 01 12 13 08 01 12 13 08
05 11 14 04 05 11 14 04 05 11
10 08 01 15 10 08 01 15 10 08
03 13 12 06 03 13 12 06 03 13
16 02 07 09 16 02 07 09 16 02
05 11 14 04 05 11 14 04 05 11
10 08 01 15 10 08 01 15 10 08
03 13 12 06 03 13 12 06 03 13
16 02 07 09 16 02 07 09 16 02
05 11 14 04 05 11 14 04 05 11
10 08 01 15 10 08 01 15 10 08

Diese 4×4-Quadrate (ein beliebiger 4×4-Ausschnitt) sind teilweise seit dem 11. bzw. 12. Jahrhundert in Indien bekannt. Durch Verschiebungen (auch in Einzelschritten, jeweils auch nur eine Zeile oder eine Spalte), durch Drehen, Spiegeln bzw. durch die freie Kombination dieser Umwandlungen lassen sich 384 = 4!·16 Quadrate erzeugen. Die Umwandlungen (Transformationen) von einem Quadrat in ein anderes bilden eine nichtkommutative geschlossene Gruppe in Bezug auf deren Verknüpfung.

Eigenschaften[Bearbeiten]

Veröffentlichte Arbeiten zu den Eigenschaften der vollkommen perfekten magischen Quadrate gibt es von Kathleen Ollerenshaw und David S. Brée sowie von T.V.Padmakumar, Indien.

Bei den 4×4-Quadraten gibt es eine eindeutige Zuordnung jedes Wertes zu seinen Nachbarn (oben, unten, rechts und links). Diese "Nachbarschaftsrelation" lässt sich allgemein zu einem Algorithmus ausbauen, mit dem z. B. für Quadrate der Ordnung 2n insgesamt 2n!·22n für n=2 und n=3 bzw. 16·2n!·22n für n>3 vollkommen perfekte magische Quadrate generiert werden können, ohne Exhaustionsmethoden anzuwenden.

Literatur[Bearbeiten]

  • Kathleen Ollerenshaw, David S. Brée: Most-perfect Pandiagonal Magic Squares: Their Construction and Enumeration. Institute of Mathematics and its Applications, Southend-on-Sea 1998, ISBN 0-905091-06-X, 186 Seiten
  • T.V.Padmakumar: Number Theory and Magic Squares. Sura books, Indien 2008, ISBN 978-81-8449-321-4, 128 Seiten

Weblinks[Bearbeiten]